第7讲　双曲线

第 7 讲 双曲线

　 一、知识梳理 1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F 1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合 P＝{M|||MF 1 |－|MF 2 ||＝2a}，|F 1 F 2 |＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. (1)当 2a<|F 1 F 2 |时，P 点的轨迹是双曲线． (2)当 2a＝|F 1 F 2 |时，P 点的轨迹是两条射线． (3)当 2a>|F 1 F 2 |时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0) y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0) 图形

　 性质 范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A 1 (－a，0)，A 2 (a，0) A 1 (0，－a)，A 2 (0，a) 渐近线 y＝±ba x y＝±ab x 离心率 e＝ ca ，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段 A 1 A 2 叫做双曲线的实轴，它的长|A 1 A 2 |＝2a；线段 B 1 B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1 B 2 |＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关 c 2 ＝a 2 ＋b 2 (c＞a＞0，c＞b＞0) 系 3.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2 －y 2 ＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 互相垂直． 常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. 2．若 P 是双曲线右支上一点，F 1 ，F 2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1 | min ＝a＋c，|PF 2 | min ＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为 2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a. 4．设 P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为 b2a 2 . 5．P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1 ，F 2 分别为双曲线的左、右焦点，则 S△PF 1 F 2 ＝b 2 ·1tan θ2，其中 θ 为∠F 1 PF 2 . 二、教材衍化 1．若双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________． 解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为 xa ±yb ＝0，即bx±ay＝0， 所以 2a＝bca 2 ＋b 2 ＝b. 又 a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，所以 5a 2 ＝c 2 . 所以 e 2 ＝ c2a 2 ＝5，所以 e＝ 5. 答案：

　5 2．经过点 A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 解析：设双曲线的方程为 x2a 2 －y 2a 2 ＝±1(a＞0)， 把点 A(3，－1)代入，得 a 2 ＝8(舍负)， 故所求方程为 x28 －y 28 ＝1. 答案：

　x28 －y 28 ＝1 3．以椭圆 x24 ＋y 23 ＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________． 解析：设要求的双曲线方程为 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆x 24 ＋y 23 ＝1，得焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以 a＝1，c＝2，所以b 2 ＝c 2 －a 2 ＝3，所以双曲线标准方程为 x 2 － y23 ＝1. 答案：x 2 － y23 ＝1

　 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点 F 1 (0，4)，F 2 (0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线．(

　) (2)椭圆的离心率 e∈(0，1)，双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)．(

　) (3)方程 x2m －y 2n ＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．(

　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.(

　) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏 常见误区 | Ｋ(1)忽视双曲线的定义； (2)忽视双曲线焦点的位置； (3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．

　1．平面内到点 F 1 (0，4)，F 2 (0，－4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是________． 解析：由|PF 1 |－|PF 2 |＝6＜|F 1 F 2 |＝8，得 a＝3，又 c＝4，则 b 2 ＝c 2 －a 2 ＝7，所以所求点的轨迹是双曲线 y29 －x 27 ＝1 的下支． 答案：双曲线 y29 －x 27 ＝1 的下支 2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为 π3 ，则双曲线的离心率为________． 解析：若双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为 x2a 2 －y 2b 2 ＝1，则渐近线的方程为 y＝±ba x，由题意可得ba ＝tan π3 ＝ 3，b＝ 3a，可得 c＝2a，则 e＝ca ＝2；若双曲线的焦点在 y轴上，设双曲线的方程为 y2a 2 －x 2b 2 ＝1，则渐近线的方程为 y＝±ab x，由题意可得ab ＝tan π3 ＝ 3，a＝ 3b，可得 c＝ 2 33a，则 e＝ 2 33.综上可得 e＝2 或 e＝ 2 33. 答案：2 或 2 33 3．若双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________． 解析：由条件知 y＝－ ba x 过点(3，－4)，所以3ba＝4，即 3b＝4a，所以 9b 2 ＝16a 2 ，所以9c 2 －9a 2 ＝16a 2 ，所以 25a 2 ＝9c 2 ，所以 e＝ 53 . 答案：

　53

　双曲线的定义(多维探究) 角度一 利用定义求轨迹方程

　已知圆 C 1 ：(x＋3) 2 ＋y 2 ＝1 和圆 C 2 ：(x－3) 2 ＋y 2 ＝9，动圆 M 同时与圆 C 1 及圆C 2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________．

　【解析】

　如图所示，设动圆 M 与圆 C 1 及圆 C 2 分别外切于点 A 和点 B.根据两圆外切的条件，得 |MC 1 |－|AC 1 |＝|MA|， |MC 2 |－|BC 2 |＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，所以 |MC 1 |－|AC 1 |＝|MC 2 |－|BC 2 |， 即|MC 2 |－|MC 1 |＝|BC 2 |－|AC 1 |＝2，所以点 M 到两定点 C 1 、C 2 的距离的差是常数且小于|C 1 C 2 |＝6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C 2 的距离大，与 C 1的距离小)， 其中 a＝1，c＝3，则 b 2 ＝8. 故点 M 的轨迹方程为 x 2 － y28 ＝1(x≤－1)． 【答案】

　x 2 － y28 ＝1(x≤－1) 角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题

　已知 F 1 ，F 2 为双曲线 C：x 2 －y 2 ＝2 的左，右焦点，点 P 在 C 上，|PF 1 |＝2|PF 2 |，则 cos∠F 1 PF 2 ＝________． 【解析】

　由双曲线的定义有 |PF 1 |－|PF 2 |＝|PF 2 |＝2a＝2 2， 所以|PF 1 |＝2|PF 2 |＝4 2， 则 cos∠F 1 PF 2 ＝ |PF1 | 2 ＋|PF 2 | 2 －|F 1 F 2 | 22|PF 1 |·|PF 2 | ＝ （4 2）2 ＋（2 2）

　2 －4 22×4 2×2 2＝ 34 . 【答案】

　34

　【迁移探究 1】

　(变条件)将本例中的条件“|PF 1 |＝2|PF 2 |”改为“∠F 1 PF 2 ＝60°”，求△F 1 PF 2 的面积是多少？ 解：不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF 1 |－|PF 2 |＝2a＝2 2，在△F 1 PF 2 中，由余弦定理，得 cos∠F 1 PF 2 ＝ |PF1 | 2 ＋|PF 2 | 2 －|F 1 F 2 | 22|PF 1 |·|PF 2 |＝ 12 ， 所以|PF 1 |·|PF 2 |＝8， 所以 S △ F 1 PF 2 ＝ 12 |PF 1 |·|PF 2 |sin 60°＝2 3. 【迁移探究 2】

　(变条件)将本例中的条件“|PF 1 |＝2|PF 2 |”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，求△F 1 PF 2 的面积是多少？ 解：不妨设点 P 在双曲线的右支上，则 |PF 1 |－|PF 2 |＝2a＝2 2，由于PF 1→·PF 2→＝0， 所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1 PF 2 中，有 |PF 1 | 2 ＋|PF 2 | 2 ＝|F 1 F 2 | 2 ， 即|PF 1 | 2 ＋|PF 2 | 2 ＝16，所以|PF 1 |·|PF 2 |＝4， 所以 S △ F 1 PF 2 ＝ 12 |PF 1 |·|PF 2 |＝2. 角度三 利用定义求解最值问题

　若双曲线 x24 －y 212 ＝1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(

　) A．8

　 B．9 C．10

　D．12 【解析】

　由题意知，双曲线 x24 －y 212 ＝1 的左焦点 F 的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为 B，则 B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋（4－1）

　2 ＋（0－4）

　2 ＝4＋5＝9，当且仅当 A，P，B 三点共线且 P 在 A，B 之间时取等号． 所以|PF|＋|PA|的最小值为 9. 【答案】

　B 错误! ! 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1 |－|PF 2 ||＝2a，运用平方的方法，建立|PF 1 |与|PF 2 |的关系． [提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．

　1．(2020·河南非凡联盟 4 月联考)已知双曲线 C：

　x2a 2 －y 29 ＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，一条渐近线与直线 4x＋3y＝0 垂直，点 M 在 C 上，且|MF 2 |＝6，则|MF 1 |＝(

　) A．2 或 14

　B．2 C．14

　D．2 或 10 解析：选 C.由题意知 3a ＝34 ，故 a＝4，则 c＝5.由|MF 2 |＝6＜a＋c＝9，知点 M 在 C 的右支上，由双曲线的定义知|MF 1 |－|MF 2 |＝2a＝8，所以|MF 1 |＝14. 2．(2020·河北廊坊省级示范学校联考)设 F 1 ，F 2 分别为双曲线 C：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F 1 的直线交双曲线 C 的左支于 A，B 两点，且|AF 2 |＝3，|BF 2 |＝5，|AB|＝4，则△BF 1 F 2 的面积为________． 解析：因为|AF 2 |＝3，|BF 2 |＝5， |AF 2 |－|AF 1 |＝2a，|BF 2 |－|BF 1 |＝2a， 所以|AF 2 |＋|BF 2 |－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4， 所以 a＝1，所以|BF 1 |＝3，又|AF 2 | 2 ＋|AB| 2 ＝|BF 2 | 2 ， 所以∠F 2 AB＝90°，所以 sin B＝ 35 ， 所以 S △ BF 1 F 2 ＝ 12 ×5×3×sin B＝12 ×5×3×35 ＝92 . 答案：

　92

　 双曲线的标准方程(师生共研)

　 (1)(一题多解)与椭圆 x24 ＋y2 ＝1 共焦点且过点 P(2，1)的双曲线方程是(

　) A. x24 －y2 ＝1

　B． x22 －y2 ＝1 C. x23 －y 23 ＝1

　D．x 2 － y22 ＝1 (2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为 y＝±12 x，且经过点(4， 3)，则双曲线的方程为________． 【解析】

　(1)法一：椭圆 x24 ＋y2 ＝1 的焦点坐标是(± 3，0)．设双曲线方程为 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)，所以4a 2 －1b 2 ＝1，a2 ＋b 2 ＝3，解得 a 2 ＝2，b 2 ＝1，所以所求双曲线方程是 x22 －y 2 ＝1. 法二：设所求双曲线方程为x 24－λ ＋y 21－λ ＝1(1<λ<4)，将点 P(2，1)的坐标代入可得44－λ ＋11－λ ＝1，解得 λ＝2(λ＝－2 舍去)，所以所求双曲线方程为x 22 －y2 ＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为 y＝±12 x， 所以可设双曲线的方程为 x 2 －4y 2 ＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4， 3)，所以 λ＝16－4×( 3) 2 ＝4， 所以双曲线的标准方程为 x24 －y2 ＝1. 法二：因为渐近线 y＝ 12 x 过点(4，2)，而 3<2，

　所以点(4， 3)在渐近线 y＝ 12 x 的下方，在 y＝－12 x 的上方(如图)． 所以双曲线的焦点在 x 轴上，故可设双曲线方程为 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)． 由已知条件可得 ba ＝12 ，16a 2 －3b 2 ＝1，解得  a 2 ＝4，b 2 ＝1，

　所以双曲线的标准方程为 x24 －y2 ＝1. 【答案】

　(1)B (2) x24 －y2 ＝1 错误! ! (1)求双曲线标准方程的答题模板

　(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 ①与双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1 共渐近线的方程可设为x 2a 2 －y 2b 2 ＝λ(λ≠0)； ②若双曲线的渐近线方程为 y＝±ba x，则双曲线的方程可设为x 2a 2 －y 2b 2 ＝λ(λ≠0)； ③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为 x2m ＋y 2n＝1(mn<0)或 mx 2 ＋ny 2 ＝1(mn<0)．

　1．(2020·安阳模拟)过双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点 F(c，0)作其渐近线 y＝32x 的垂线，垂足为 M，若 S △ OMF ＝4 3(O 为坐标原点)，则双曲线的标准方程为(

　) A. x24 －y 23 ＝1

　B． x28 －y 26 ＝1 C. x216 －y 212 ＝1

　D． x232 －y 224 ＝1 解析：选 C.由题意易得 ba ＝32，12 ab＝4 3，解得   a＝4，b＝2 3，

　所以双曲线的标准方程为 x216 －y 212 ＝1，故选 C. 2．过双曲线 C：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点 F 为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为(

　) A. x24 －y 212 ＝1

　B． x27 －y 29 ＝1 C. x28 －y 28 ＝1

　D． x212 －y 24 ＝1 解析：选 A.因为渐近线 y＝ ba x 与直线 x＝a 交于点 A(a，b)，c＝4 且（4－a）

　2 ＋b 2 ＝4，解得 a 2 ＝4，b 2 ＝12，因此双曲线的标准方程为 x24 －y 212 ＝1. 3．经过点 P(3，2 7)，Q(－6 2，7)的双曲线的标准方程为________． 解析：设双曲线的方程为 mx 2 ＋ny 2 ＝1(mn<0)，因为所求双曲线经过点 P(3，2 7)，Q(－6 2，7)，所以  9m＋28n＝1，72m＋49n＝1， 解得  m＝－175 ，n＝125 .故所求双曲线方程为 y225 －x 275 ＝1. 答案：

　y225 －x 275 ＝1

　双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长

　已知离心率为52的双曲线 C：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F 1 ，F 2 ，M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OM⊥MF 2 ，O 为坐标原点，若 S△OMF 2 ＝16，则双曲线的实轴长是(

　) A．32

　B．16 C．84

　D．4 【解析】

　由题意知 F 2 (c，0)，不妨令点 M 在渐近线 y＝ ba x 上，由题意可知|F 2 M|＝bca 2 ＋b 2＝b，所以|OM|＝ c 2 －b 2 ＝a.由 S △ OMF 2 ＝16，可得 12 ab＝16，即 ab＝32，又 a2 ＋b 2 ＝c 2 ， ca ＝52，所以 a＝8，b＝4，c＝4 5，所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B. 【答案】

　B 角度二 求双曲线的渐近线方程 (1)(2020·福建厦门一模)已知双曲线 C：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于M，N 两点，若|MN|＝2，△ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为(

　) A．y＝± 3x

　B．y＝±33x C．y＝±2x

　D．y＝±12 x (2)过双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点 F 作圆 O：x2 ＋y 2 ＝a 2 的两条切线，切点为 A，B，双曲线的左顶点为 C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为(

　) A．y＝± 3x

　B．y＝±33x C．y＝± 2x

　D．y＝±22x 【解析】

　(1)设双曲线的另一个焦点为 F′，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF′是矩形， 所以 S △ ABF ＝S △ ABF ′ ， 即 bc＝8， 由 x2 ＋y 2 ＝c 2 ，x 2a 2 －y 2b 2 ＝1可得 y＝±b 2c， 则|MN|＝ 2b2c＝2，即 b 2 ＝c， 所以 b＝2，c＝4， 所以 a＝ c 2 －b 2 ＝2 3， 所以 C 的渐近线方程为 y＝±33x， 故选 B. (2)如图所示，连接 OA，OB，

　设双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的焦距为 2c(c>0)，则 C(－a，0)，F(－c，0)． 由双曲线和圆的对称性知，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝ 12 ∠ACB＝12 ×120°＝60°. 因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC＝60°. 因为 FA 与圆 O 相切于点 A，所以 OA⊥FA， 在 Rt△AOF 中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即 c＝2a， 所以 b＝ c 2 －a 2 ＝ （2a）

　2 －a 2 ＝ 3a， 故双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±ba x，即 y＝± 3x. 【答案】

　(1)B (2)A 角度三 求双曲线的离心率(或范围)

　(2019·高考全国卷Ⅱ)设 F 为双曲线 C：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x 2 ＋y 2 ＝a 2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率为(

　) A. 2

　B． 3 C．2

　D． 5 【解析】

　如图，由题意，知以 OF 为直径的圆的方程为 x－ c22＋y 2 ＝ c24 ①，将 x2 ＋y 2＝a 2 记为②式，①－②得 x＝ a2c，则以 OF 为直径的圆与圆 x 2 ＋y 2 ＝a 2 的相交弦所在直线的方程为 x＝ a2c，所以|PQ|＝2 a 2 － a 2c2.由|PQ|＝|OF|，得 2 a 2 － a 2c2＝c，整理得 c 4 －4a 2 c 2＋4a 4 ＝0，即 e 4 －4e 2 ＋4＝0，解得 e＝ 2，故选 A.

　【答案】

　A 错误! ! 与双曲线几何性质有关问题的解题策略 (1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于 a，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得． (2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中 a，b 的值或 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程． (3)求双曲线方程：依据题设条件，求出 a，b 的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程． (4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长：依题设条件及 a，b，c 之间的关系求解．

　1．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线 C：x 24 －y 22 ＝1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO 的面积为(

　) A. 3 24

　B． 3 22 C．2 2

　D．3 2 解析：选 A.不妨设点 P 在第一象限，根据题意可知 c 2 ＝6，所以|OF|＝ 6. 又 tan∠POF＝ ba ＝22，所以等腰三角形 POF 的高 h＝62×22＝32，所以 S △ PFO ＝ 12 × 6×32＝ 3 24. 2．(2020·广东汕尾一模)已知双曲线 C：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)，F 是双曲线 C 的右焦点，A 是双曲线 C 的右顶点，过 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 M，N 两点．若 tan∠MAN＝－ 34 ，则双曲线 C 的离心率为(

　) A．3

　B．2 C. 43

　 D． 2 解析：选 B.由题意可知 tan∠MAN＝－ 34 ＝2tan∠MAF1－tan 2 ∠MAF ， 解得 tan∠MAF＝3， 可得b 2ac－a ＝3，可得 c2 ＋2a 2 －3ac＝0，e 2 ＋2－3e＝0， 因为 e＞1，所以解得 e＝2. 故选 B.

　[基础题组练] 1．“k<9”是“方程x 225－k ＋y 2k－9 ＝1 表示双曲线”的(

　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A.因为方程x 225－k ＋y 2k－9 ＝1 表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以 k<9 或k>25， 所以“k<9”是“方程x 225－k ＋y 2k－9 ＝1 表示双曲线”的充分不必要条件，故选 A. 2．双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为(

　) A．y＝± 2x

　B．y＝± 3x C．y＝±22x

　D．y＝±32x 解析：选 A.法一：由题意知，e＝ ca ＝ 3，所以 c＝ 3a，所以 b＝c 2 －a 2 ＝ 2a，所以ba ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±ba x＝± 2x，故选 A. 法二：由 e＝ ca ＝1＋ ba2＝ 3，得 ba ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±ba x＝± 2x，故选 A. 3．(2020·广东揭阳一模)过双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为(

　) A. 5－1

　B．5＋12 C. 32

　 D．2 解析：选 B.将 x＝±c 代入双曲线的方程得 y 2 ＝ b4a 2 ⇒y＝±b 2a ，则 2c＝2b 2a，即有 ac＝b 2 ＝c 2 －a 2 ，由 e＝ ca ，可得 e2 －e－1＝0，解得 e＝5＋12(舍负)．故选 B. 4．设双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A 1 ，A 2 ，过 F 作 A 1 A 2的垂线与双曲线交于 B，C 两点．若 A 1 B⊥A 2 C，则该双曲线的渐近线方程为(

　) A．y＝±12 x

　B．y＝±22x C．y＝±x

　D．y＝± 2x 解析：选 C.

　如图，不妨令 B 在 x 轴上方，因为 BC 过右焦点 F(c，0)，且垂直于 x 轴，所以可求得 B，C 两点的坐标分别为 c， b2a， c，－ b2a.又 A 1 ，A 2 的坐标分别为(－a，0)，(a，0)． 所以A 1 B→＝ c＋a， b2a，A 2 C→＝ c－a，－ b2a. 因为 A 1 B⊥A 2 C，所以A 1 B→·A 2 C→＝0， 即(c＋a)(c－a)－ b2a ·b 2a ＝0， 即 c 2 －a 2 － b4a 2 ＝0， 所以 b 2 － b4a 2 ＝0，故b 2a 2 ＝1，即ba ＝1. 又双曲线的渐近线的斜率为±ba ， 故该双曲线的渐近线的方程为 y＝±x. 5．(2020·河北衡水三模)过双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点 F( 5，0)作斜率为 k(k＜－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为 A，交另一条渐近线于点 B，若S △ BOF ＝ 53 (O 为坐标原点)，则 k 的值为(

　) A．－ 2

　B．－2 C．－ 3

　D．－ 5 解析：选 B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为 y＝－ 1k x，过第二象限的渐近线的方程为 y＝ 1k x，直线 FB 的方程为 y＝k(x－ 5)，联立方程得  y＝k（x－ 5），y＝ 1k x⇒x＝5k 2k 2 －1 ，所以 y＝5kk 2 －1 ，所以 S△ BOF ＝ 12 |OF|×|y B |＝12 × 5× 5kk 2 －1＝ 52 －kk 2 －1. 令 52 －kk 2 －1＝ 53 ，得 k＝－2 或 k＝12 (舍)．故选 B. 6．(2020·黄山模拟)过双曲线 E：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点(－ 5，0)，作圆(x－ 5)2＋y 2 ＝4 的切线，切点在双曲线 E 上，则 E 的离心率等于(

　) A．2 5

　B． 5 C.53

　D．52 解析：选 B.设圆的圆心为 G，双曲线的左焦点为 F.由圆的方程(x－ 5) 2 ＋y 2 ＝4，知圆心坐标为 G( 5，0)，半径 R＝2，则 FG＝2 5. 设切点为 P， 则 GP⊥FP，PG＝2，PF＝2＋2a， 由|PF| 2 ＋|PG| 2 ＝|FG| 2 ， 即(2＋2a) 2 ＋4＝20， 即(2＋2a) 2 ＝16，得 2＋2a＝4，a＝1，又 c＝ 5， 所以双曲线的离心率 e＝ ca ＝ 5，故选 B. 7．设 F 为双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若线段 OF 的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为 12 |OF|，则双曲线的离心率为(

　) A．2 2

　B． 2 33 C．2 3

　D．3 解析：选 B.双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±ba x，线段 OF 的垂直平分线为直线 x＝ c2 ，将 x＝c2 代入 y＝ba x，则 y＝bc2a ，则交点坐标为 c2 ，bc2a， 点 c2 ，bc2a到直线 y＝－ ba x，即 bx＋ay＝0 的距离 d＝bc2＋ bc2a 2 ＋b 2＝ 12 |OF|＝c2 ，得 c＝2b＝2 c 2 －a 2 ，即 4a 2 ＝3c 2 ， 所以双曲线的离心率 e＝ ca ＝2 33，故选 B. 8．已知双曲线 C：

　x23 －y2 ＝1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|＝(

　) A. 32

　 B．3 C．2 3

　D．4 解析：选 B.因为双曲线 x23 －y2 ＝1 的渐近线方程为 y＝±33x，所以∠MON＝60°.不妨设过点 F 的直线与直线 y＝33x 交于点 M，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线 MN 过点 F(2，0)，所以直线 MN 的方程为 y＝－ 3(x－2)， 由 y＝－ 3（x－2），y＝33x，得 x＝32 ，y＝32，所以 M 32 ，32，所以|OM|＝322＋ 322＝ 3，所以|MN|＝ 3|OM|＝3，故选 B. 9．(2020·湛江模拟)设 F 为双曲线 E：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a，b＞0)的右焦点，过 E 的右顶点作 x轴的垂线与 E 的渐近线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，四边形 OAFB 为菱形，圆 x 2 ＋y 2＝c 2 (c 2 ＝a 2 ＋b 2 )与 E 在第一象限的交点是 P，且|PF|＝ 7－1，则双曲线 E 的方程是(

　) A. x26 －y 22 ＝1

　B． x22 －y 26 ＝1 C. x23 －y2 ＝1

　D．x 2 － y23 ＝1 解析：选 D.双曲线 E：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1 的渐近线方程为 y＝±ba x， 因为四边形 OAFB 为菱形， 所以对角线互相垂直平分，所以 c＝2a，∠AOF＝60°， 所以 ba ＝ 3. 则有 x2a 2 －y 23a 2 ＝1，x 2 ＋y 2 ＝c 2 ＝4a 2 ， 解得 P 72a， 32 a . 因为|PF|＝ 7－1， 所以 72a－2a2＋ 32 a2＝( 7－1) 2 ，解得 a＝1， 则 b＝ 3， 故双曲线 E 的方程为 x 2 － y23 ＝1. 故选 D.

　10．已知双曲线 x29 －y 2b 2 ＝1(b＞0)的左顶点为 A，虚轴长为 8，右焦点为 F，且⊙F 与双曲线的渐近线相切，若过点 A 作⊙F 的两条切线，切点分别为 M，N，则|MN|＝(

　) A．8

　B．4 2 C．2 3

　D．4 3 解析：选 D.因为双曲线 x29 －y 2b 2 ＝1(b＞0)的虚轴长为 8， 所以 2b＝8，解得 b＝4， 因为 a＝3，

　所以双曲线的渐近线方程为 y＝±43 x，c2 ＝a 2 ＋b 2 ＝25，A(－3，0)，所以 c＝5，所以 F(5，0)， 因为⊙F 与双曲线的渐近线相切， 所以⊙F 的半径为 |4×5＋0|4 2 ＋3 2＝4， 所以|MF|＝4， 因为|AF|＝a＋c＝3＋5＝8， 所以|AM|＝ 8 2 －4 2 ＝4 3， 因为 S 四边形 AMFN ＝2× 12 |AM|·|MF|＝12 |AF|·|MN|， 所以 2× 12 ×4 3×4＝12 ×8|MN|， 解得|MN|＝4 3，故选 D. 11．(2020·开封模拟)过双曲线 C：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点 F 作圆 x2 ＋y 2 ＝a 2 的切线 FM(切点为 M)，交 y 轴于点 P，若PM→＝2MF→，则双曲线的离心率为(

　) A. 2

　B．62 C. 3

　D．2 解析：选 B.设 P(0，3m)，由PM→＝2MF→，可得点 M 的坐标为 23 c，m ，因为 OM⊥PF，所以 m23 c·3m－c ＝－1，所以 m2 ＝ 29 c2 ，所以 M  23 c，± 2c 29，由|OM| 2 ＋|MF| 2 ＝|OF| 2 ，|OM|＝a，|OF|＝c 得，a 2 ＋ c32＋ 2c29＝c 2 ，a 2 ＝ 23 c2 ，所以 e＝ ca ＝62，故选 B. 12．过双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为(

　) A．(1， 2) B．( 2， 2＋ 2) C．( 2，2) D．(1， 2)∪( 2＋ 2，＋∞) 解析：选 D.设双曲线：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F 1 (－c，0)， 令 x＝－c，可得 y＝±b 2a ，可设 A －c， b2a，B －c，－ b2a. 又设 D(0，b)，可得AD→＝ c，b－ b2a，DA→＝ －c， b2a －b ， AB→ ＝0，－ 2b2a，DB→＝ －c，－b－ b2a. 由△ABD 为钝角三角形，可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角． 当∠DAB 为钝角时，可得AD→·AB→ <0，即为 0－ 2b 2a· b－ b2a<0，化为 a>b，即有 a 2 >b 2＝c 2 －a 2 .可得 c 2 <2a 2 ，即 e＝ ca < 2.又 e>1，可得 1<e< 2； 当∠ADB 为钝角时，可得DA→·DB→<0， 即为 c 2 － b 2a ＋b b 2a －b <0，化为 c4 －4a 2 c 2 ＋2a 4 >0，由 e＝ ca ， 可得 e 4 －4e 2 ＋2>0.又 e>1，可得 e> 2＋ 2. 综上可得，e 的范围为(1， 2)∪( 2＋ 2，＋∞)．故选 D. 13．焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线 y24 －x2 ＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方程是________． 解析：设所求双曲线的标准方程为 y24 －x2 ＝－λ(λ>0)，即 x2λ －y 24 λ ＝1，则有 4λ＋λ＝25，解得 λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为 x25 －y 220 ＝1. 答案：

　x25 －y 220 ＝1 14．过双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点 F 1 作圆 x2 ＋y 2 ＝a 2 的切线交双曲线的右支于点 P，且切点为 T，已知 O 为坐标原点，M 为线段 PF 1 的中点(点 M 在切点 T 的右侧)，若△OTM 的周长为 4a，则双曲线的渐近线方程为________． 解析：连接 OT，则 OT⊥F 1 T， 在直角三角形 OTF 1 中，|F 1 T|＝ 错误! !＝ 错误! !＝b. 设双曲线的右焦点为 F 2 ，连接 PF 2 ，M 为线段 F 1 P 的中点，O 为坐标原点， 所以 OM＝ 12 PF 2 ， 所以|MO|－|MT|＝ 12 |PF 2 |－ 12 |PF 1 |－|F 1 T| ＝ 12 (|PF 2 |－|PF 1 |)＋b＝12 ×(－2a)＋b＝b－a. 又|MO|＋|MT|＋|TO|＝4a，即|MO|＋|MT|＝3a， 故|MO|＝ b＋2a2，|MT|＝ 4a－b2， 由勾股定理可得 a 2 ＋ 4a－b22＝ b＋2a22，即 ba ＝43 ， 所以渐近线方程为 y＝±43 x. 答案：y＝±43 x 15．已知 M(x 0 ，y 0 )是双曲线 C：x 22 －y2 ＝1 上的一点，F 1 ，F 2 是双曲线 C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则 y 0 的取值范围是________． 解析：由题意知 a＝ 2，b＝1，c＝ 3， 设 F 1 (－ 3，0)，F 2 ( 3，0)， 则MF 1→＝(－ 3－x 0 ，－y 0 )，MF 2→＝( 3－x 0 ，－y 0 )． 因为MF 1→·MF 2→<0， 所以(－ 3－x 0 )( 3－x 0 )＋y 2 0 <0， 即 x 2 0 －3＋y 2 0 <0. 因为点 M(x 0 ，y 0 )在双曲线 C 上， 所以 错误! !－y 错误! !＝1，即 x 错误! !＝2＋2y 错误! !， 所以 2＋2y 2 0 －3＋y 2 0 <0，所以－33<y 0 <33. 答案：

　－33，33 16．如图，F 1 ，F 2 是双曲线 C：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线 y＝x与双曲线 C 交于 P，Q 两点，且四边形 PF 1 QF 2 为矩形，则双曲线的离心率为________．

　解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线 y＝x 代入双曲线 C 方程，可得 x＝±a 2 b 2b 2 －a 2 ，所以 2·a 2 b 2b 2 －a 2 ＝c，所以 2a2 b 2 ＝c 2 (b 2 －a 2 )，即 2(e 2 －1)＝e 4 －2e 2 ，所以 e 4－4e 2 ＋2＝0.因为 e>1，所以 e 2 ＝2＋ 2，所以 e＝ 2＋ 2. 答案：

　2＋ 2 [综合题组练] 1．过双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点 F(－c，0)作圆 O：x2 ＋y 2 ＝a 2 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线于点 P，若 E 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为(

　) A. 5

　B．52 C. 5＋1

　D．5＋12 解析：选 A. 法一：如图所示，不妨设 E 在 x 轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接 OE，PF′， 因为 PF 是圆 O 的切线，所以 OE⊥PE，又 E，O 分别为 PF，FF′的中点，所以|OE|＝ 12 |PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的性质，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在 Rt△OEF 中，|OE| 2 ＋|EF| 2 ＝|OF| 2 ，即 a 2 ＋4a 2 ＝c 2 ，所以 e＝ 5，故选 A. 法二：连接 OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设 F′为双曲线的右焦点，连接 PF′，因为 O，E 分别为线段 FF′，FP 的中点，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以 b＝2a，所以 e＝ 1＋ ba2＝ 5. 2．(2020·汉中模拟)设 F 1 (－c，0)，F 2 (c，0)是双曲线 C：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点 P 是 C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1 PF 2 的平分线，过点 F 1 作 PQ 的垂线，垂足为 Q，O 为坐标原点，则|OQ|(

　) A．为定值 a B．为定值 b C．为定值 c D．不确定，随 P 点位置变化而变化 解析：选 A.延长 F 1 Q，PF 2 交于点 M，则三角形 PF 1 M 为等腰三角形，可得 Q 为 F 1 M的中点，由双曲线的定义可得|PF 1 |－|PF 2 |＝|F 2 M|＝2a，由三角形中位线定理可得|OQ|＝ 12|F 2 M|＝a，故选 A.

　3．以椭圆 x29 ＋y 25 ＝1 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 C，其左、右焦点分别是 F 1 ，F 2 .已知点 M 的坐标为(2，1)，双曲线 C 上的点 P(x 0 ，y 0 )(x 0 >0，y 0 >0)满足 PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝ F2 F 1→·MF 1→|F 2 F 1→|，则 S△PMF 1 －S△PMF 2 ＝(

　) A．2

　B．4 C．1

　D．－1 解析：选 A.由题意，知双曲线方程为 x24－ y25＝1，|PF 1 |－|PF 2 |＝4，由 PF1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2 F 1→·MF 1→|F 2 F 1→|，可得 F1 P→·F 1 M→|MF 1→||F 1 P→|＝ F1 F 2→·F 1 M→|MF 1→||F 1 F 2→|，即 F 1 M 平分∠PF 1 F 2 . 又结合平面几何知识可得，△F 1 PF 2 的内心在直线 x＝2 上，所以点 M(2，1)就是△F 1 PF 2的内心． 故 S △ PMF 1 －S △ PMF 2 ＝ 12 ×(|PF 1 |－|PF 2 |)×1＝12 ×4×1＝2. 4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F 1 ，F 2 ，过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若F 1 A→＝AB→ ，F1 B→·F 2 B→＝0，则 C的离心率为________． 解析：通解：因为F 1 B→·F 2 B→＝0，所以 F 1 B⊥F 2 B，如图．

　所以|OF 1 |＝|OB|，所以∠BF 1 O＝∠F 1 BO，所以∠BOF 2 ＝2∠BF 1 O.因为F 1 A→＝AB→ ，所以点 A 为 F 1 B 的中点，又点 O 为 F 1 F 2 的中点，所以 OA∥BF 2 ，所以 F 1 B⊥OA，因为直线 OA，OB 为双曲线 C 的两条渐近线，所以 tan ∠BF 1 O＝ ab ，tan ∠BOF 2 ＝ba .因为 tan ∠BOF 2 ＝tan(2∠BF 1 O)，所以 ba ＝2× ab1－ ab2 ，所以 b 2 ＝3a 2 ，所以 c 2 －a 2 ＝3a 2 ，即 2a＝c，所以双曲线的离心率 e＝ ca ＝2. 优解：因为F 1 B→·F 2 B→＝0，所以 F 1 B⊥F 2 B， 在 Rt△F 1 BF 2 中，|OB|＝|OF 2 |，所以∠OBF 2 ＝∠OF 2 B，又F 1 A→＝AB→ ，所以 A 为 F1 B 的中点，所以 OA∥F 2 B，所以∠F 1 OA＝∠OF 2 B.又∠F 1 OA＝∠BOF 2 ，所以△OBF 2 为等边三角形．由 F 2 (c，0)可得 B c2 ，3c2，因为点 B 在直线 y＝ ba x 上，所以32c＝ ba ·c2 ，所以ba ＝ 3，所以 e＝ 1＋ b2a 2 ＝2. 答案：2 5．已知双曲线 C：

　x24 －y2 ＝1，直线 l：y＝kx＋m 与双曲线 C 相交于 A，B 两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，则直线 l 所过定点为________． 解析：设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， 联立 y＝kx＋m，x 24 －y2 ＝1，

　得(1－4k 2 )x 2 －8kmx－4(m 2 ＋1)＝0， 所以 Δ＝64m 2 k 2 ＋16(1－4k 2 )(m 2 ＋1)＞0，x 1 ＋x 2 ＝8mk1－4k 2 ＞0，x 1 x 2 ＝－4（m 2 ＋1）1－4k 2＜0，所以 y 1 y 2 ＝(kx 1 ＋m)(kx 2 ＋m)＝k 2 x 1 x 2 ＋mk(x 1 ＋x 2 )＋m 2 ＝ m2 －4k 21－4k 2. 因为以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(－2，0)，所以 k AD ·k BD ＝－1， 即y 1x 1 ＋2 ·y 2x 2 ＋2 ＝－1， 所以 y 1 y 2 ＋x 1 x 2 ＋2(x 1 ＋x 2 )＋4＝0， 即 m2 －4k 21－4k 2＋ －4（m2 ＋1）1－4k 2＋16mk1－4k 2 ＋4＝0， 所以 3m 2 －16mk＋20k 2 ＝0，解得 m＝2k 或 m＝ 10k3. 当 m＝2k 时，l 的方程为 y＝k(x＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾； 当 m＝ 10k3时，l 的方程为 y＝k x＋ 103，直线过定点 － 103，0 ，经检验符合已知条件． 故直线 l 过定点 － 103，0 . 答案：

　－ 103，0 6．已知 P 为双曲线 C：

　x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a＞0，b＞0)右支上的任意一点，经过点 P 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 A，B 两点．若点 A，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP→ ＝ 12 PB→ 时，△AOB 的面积为 2b，则双曲线 C 的实轴长为________．

　解析：设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，P(x，y)，由AP→ ＝ 12 PB→ ，得(x－x1 ，y－y 1 )＝ 12 (x 2 －x，y 2－y)， 则 x＝ 23 x 1 ＋13 x 2 ，y＝23 y 1 ＋13 y 2 ， 所以（ 23 x 1 ＋13 x 2 ）2a 2－（ 23 y 1 ＋13 y 2 ）2b 2＝1. 由题意知 A 在直线 y＝ ba x 上，B 在 y＝－ba x 上，则 y 1 ＝ba x 1 ，y 2 ＝－ba x 2 . 所以（ 23 x 1 ＋13 x 2 ）2a 2－（ 23 y 1 ＋13 y 2 ）2b 2＝1，即 b 2 ( 23 x 1 ＋13 x 2 )2 －a 2 ( 2b3a x 1 －b3a x 2 )2 ＝a 2 b 2 ， 化简得：a 2 ＝ 89 x 1 x 2 ， 由渐近线的对称性可得 sin∠AOB＝sin 2∠AOx ＝2sin∠AOxcos∠AOxsin 2 ∠AOx＋cos 2 ∠AOx ＝2tan∠AOxtan 2 ∠AOx＋1 ＝2ba（ ba ）2 ＋1 ＝2abb 2 ＋a 2 . 所以△AOB 的面积为 12 |OA||OB|sin∠AOB＝12 错误! !· 错误! !·sin∠AOB ＝ 12 错误! !· 错误! !· 错误! ! ＝x 1 x 2 · 1＋（ ba ）2 ·1＋（ ba ）2 ·abb 2 ＋a 2

　＝ 98 a2 ·abb 2 ＋a 2 ·[1＋(ba )2 ]＝ 98 ab＝2b，解得 a＝169.所以双曲线 C 的实轴长为 329. 答案：

　329

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