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第6讲 抛物线

来源:香猪 时间:2020-06-15 点击:

第 6 讲 抛物线

  一、知识梳理 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:

 (1)在平面内. (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等. (3)定点不在定直线上. 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y 2 =2px(p>0) y 2 =-2px(p>0) x 2 =2py(p>0) x 2 =-2py(p>0) p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形

  顶点 O(0,0) 对称轴 y=0 x=0 焦点 F p2 ,0 F - p2 ,0 F 0, p2 F 0,- p2 离心率 e=1 准线方程 x=- p2

 x= p2

 y=- p2

 y= p2

 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x 0 ,y 0 )) |PF|=x 0 + p2

 |PF|=-x 0 + p2

 |PF|=y 0 + p2

 |PF|=-y 0 + p2

 常用结论 1.抛物线 y 2 =2px(p>0)上一点 P(x 0 ,y 0 )到焦点 F p2 ,0 的距离|PF|=x 0 +p2 ,也称为抛物线的焦半径. 2.y 2 =ax(a≠0)的焦点坐标为 a4 ,0 ,准线方程为 x=-a4 . 3.如图,设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ).

 (1)y 1 y 2 =-p 2 ,x 1 x 2 = p24 . (2)|AB|=x 1 +x 2 +p=2psin 2 θ (θ 为 AB 的倾斜角). (3)1|AF| +1|BF| 为定值2p . (4)以 AB 为直径的圆与准线相切. (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. 二、教材衍化 1.过点 P(-2,3)的抛物线的标准方程是(

 ) A.y 2 =- 92 x 或 x2 = 43 y B.y 2 = 92 x 或 x2 = 43 y C.y 2 = 92 x 或 x2 =- 43 y D.y 2 =- 92 x 或 x2 =- 43 y 解析:选 A.设抛物线的标准方程为 y 2 =kx 或 x 2 =my,代入点 P(-2,3),解得 k=- 92 ,m= 43 ,所以 y2 =- 92 x 或 x2 = 43 y.故选 A. 2.抛物线 y 2 =8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点 P 有(

 ) A.0 个

 B.1 个 C.2 个

 D.4 个 解析:选 C.设 P(x 1 ,y 1 ),则|PF|=x 1 +2=5,y 2 1 =8x 1 ,所以 x 1 =3,y 1 =±2 6.故满足条件的点 P 有两个.故选 C. 3.过抛物线 y 2 =4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 ,y 2 )两点,如果 x 1 +x 2=6,则|PQ|=________. 解析:抛物线 y 2 =4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x 1 +1+x 2 +1=x 1 +x 2 +2=8. 答案:8

 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(

 ) (2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(

 ) (3)若一抛物线过点 P(-2,3),则其标准方程可写为 y 2 =2px(p>0).(

 ) (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(

 ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区 | K(1)忽视抛物线的标准形式; (2)忽视 p 的几何意义; (3)忽视 k=0 的讨论; (4)易忽视焦点的位置出现错误. 1.抛物线 8x 2 +y=0 的焦点坐标为(

 ) A.(0,-2)

 B.(0,2) C. 0,-132

 D. 0,132 解析:选 C.由 8x 2 +y=0,得 x 2 =- 18 y. 2p= 18 ,p=116 ,所以焦点为 0,-132,故选 C. 2.已知抛物线 C 与双曲线 x 2 -y 2 =1 有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线 C 的方程是(

 ) A.y 2 =±2 2x

 B.y 2 =±2x C.y 2 =±4x

 D.y 2 =±4 2x 解析:选 D.由已知可知双曲线的焦点为(- 2,0),( 2,0).设抛物线方程为 y 2 =±2px(p>0),则 p2 = 2,所以 p=2 2,所以抛物线方程为 y2 =±4 2x.故选 D. 3.设抛物线 y 2 =8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是________. 解析:由已知可得 Q(-2,0),当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意,故设直线 l 的方程为 y=k(x+2),代入抛物线方程,消去 y 整理得 k 2 x 2 +(4k 2 -8)x+4k 2 =0,当 k=0 时,l 与抛物线有公共点;当 k≠0 时, Δ =64(1-k 2 )≥0 得-1≤k<0 或 0<k≤1.综上,-1≤k≤1. 答案:[-1,1] 4.若抛物线的焦点在直线 x-2y-4=0 上,则此抛物线的标准方程为________. 解析:令 x=0,得 y=-2;令 y=0,得 x=4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0,-2),故所求抛物线的标准方程为 y 2 =16x 或 x 2 =-8y. 答案:y 2 =16x 或 x 2 =-8y

  抛物线的定义(典例迁移)

 设 P 是抛物线 y 2 =4x 上的一个动点,F 为抛物线的焦点,若 B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________. 【解析】

 如图,

 过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q,交抛物线于点 P 1 ,则 |P 1 Q|=|P 1 F|. 则有|PB|+|PF|≥|P 1 B|+|P 1 Q|=|BQ|=4. 即|PB|+|PF|的最小值为 4. 【答案】

 4 【迁移探究 1】

 (变条件)若将本例中“B(3,2)”改为“B(3,4)”,如何求解? 解:由题意可知点 B(3,4)在抛物线的外部. 因为|PB|+|PF|的最小值即为 B,F 两点间的距离, 由例题知,F(1,0),

 所以|PB|+|PF|≥|BF|= 4 2 +2 2 =2 5, 即|PB|+|PF|的最小值为 2 5. 【迁移探究 2】

 (变问法)在本例条件下,求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值. 解:如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1,由抛物线的定义知点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到 F 的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小,显然,连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点 P,此时最小值为 [1-(-1)] 2 +(0-1)

 2 = 5. 【迁移探究 3】

 (变问法)在本例条件下,求点 P 到直线 l 1 :4x-3y+6=0 和 l 2 :x=-1 的距离之和的最小值. 解:由题可知 l 2 :x=-1 是抛物线 y 2 =4x 的准线,设抛物线的焦点为 F(1,0),则动点P 到 l 2 的距离等于|PF|,故动点 P 到直线 l 1 和直线 l 2 的距离之和的最小值,即焦点 F 到直线l 1 :4x-3y+6=0 的距离,所以最小值是 |4-0+6|5=2.

 错误! ! (1)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径. (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x,y)到焦点 F 的距离|PF|=|x|+ p2 或|PF|=|y|+p2 .

 1.(2020·江西萍乡一模)已知动圆 C 经过点 A(2,0),且截 y 轴所得的弦长为 4,则圆心C 的轨迹是(

 ) A.圆

 B.椭圆 C.双曲线

 D.抛物线 解析:选 D.设圆心 C(x,y),弦为 BD,过点 C 作 CE⊥y 轴,垂足为 E,则|BE|=2, 则有|CA| 2 =|BC| 2 =|BE| 2 +|CE| 2 , 所以(x-2) 2 +y 2 =2 2 +x 2 ,化为 y 2 =4x,则圆心 C 的轨迹为抛物线. 故选 D. 2.(2020·成都模拟)已知抛物线 C:y 2 =2px(p>0)的焦点为 F,准线 l:x=-1,点 M 在抛物线 C 上,点 M 在直线 l:x=-1 上的射影为 A,且直线 AF 的斜率为- 3,则△MAF的面积为(

 ) A. 3

 B.2 3 C.4 3

 D.8 3 解析:选 C.如图所示,设准线 l 与 x 轴交于点 N. 则|FN|=2. 因为直线 AF 的斜率为- 3,所以∠AFN=60°. 所以∠MAF=60°,|AF|=4. 由抛物线的定义可得|MA|=|MF|, 所以△AMF 是边长为 4 的等边三角形. 所以 S △ AMF =34×4 2 =4 3. 故选 C.

  抛物线的标准方程(师生共研)

 如图,过抛物线 y 2 =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A,B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为(

 )

 A.y 2 =9x

 B.y 2 =6x C.y 2 =3x

 D.y 2 = 3x 【解析】

 如图,过点 A,B 分别作准线的垂线,交准线于点 E,D,设|BF|=a,则由已知得|BC|=2a,由抛物线定义得|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形 ACE 中,因为|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a,2|AE|=|AC|,所以 3+3a=6,从而得 a=1,|FC|=3a=3,所以 p=|FG|= 12 |FC|=32 ,因此抛物线的方程为 y2 =3x,故选 C. 【答案】

 C 错误! ! 求抛物线的标准方程应注意以下几点 (1)当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种. (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系. (3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题.

 1.(2020·重庆调研)已知抛物线 y 2 =2px(p>0),点 C(-4,0),过抛物线的焦点作垂直于 x 轴的直线,与抛物线交于 A,B 两点,若△CAB 的面积为 24,则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程是(

 ) A.y 2 =4x

 B.y 2 =-4x C.y 2 =8x

 D.y 2 =-8x 解析:选 D.因为 AB⊥x 轴,且 AB 过点 F,所以 AB 是焦点弦,且|AB|=2p,所以 S △ CAB= 12 ×2p× p2 +4 =24,解得 p=4 或-12(舍),所以抛物线方程为 y2 =8x,所以直线 AB 的方程为 x=2,所以以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程为 y 2 =-8x.故选 D. 2.已知双曲线 C 1 :

 x2a 2 -y 2b 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 2,若抛物线 C 2 :x2 =2py(p>0)的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C 2 的方程是(

 ) A.x 2 =16y

 B.x 2 =8y C.x 2 = 8 33y

 D.x 2 = 16 33y 解析:选 A.因为双曲线 C 1 :

 x2a 2 -y 2b 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 2,所以ca =2.因为双曲线的渐近线方程为 bx±ay=0,抛物线 C 2 :x 2 =2py(p>0)的焦点 0, p2到双曲线的渐近线的距离为 2,所以a·p2a 2 +b 2 =p2 ·ac =p4 =2,解得 p=8,所以抛物线 C 2 的方程是 x2 =16y.

  抛物线的性质(师生共研)

 已知抛物线 y 2 =2px(p>0)的焦点为 F,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )是过 F 的直线与抛物线的两个交点,求证:

 (1)y 1 y 2 =-p 2 ,x 1 x 2 = p24 ; (2)1|AF| +1|BF| 为定值; (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 【证明】

 (1)由已知得抛物线焦点坐标为 F( p2 ,0). 由题意可设直线方程为 x=my+ p2 ,代入 y2 =2px, 得 y 2 =2p my+ p2,即 y 2 -2pmy-p 2 =0.(*) 则 y 1 ,y 2 是方程(*)的两个实数根,所以 y 1 y 2 =-p 2 . 因为 y 2 1 =2px 1 ,y 2 2 =2px 2 , 所以 y 2 1 y 2 2 =4p 2 x 1 x 2 , 所以 x 1 x 2 = 错误! != 错误! != 错误! !. (2)1|AF| +1|BF| =1x 1 + p2+1x 2 + p2 =x 1 +x 2 +px 1 x 2 + p2 (x 1 +x 2 )+p 24. 因为 x 1 x 2 = p24 ,x 1 +x 2 =|AB|-p,|AB|=x 1 +x 2 +p,代入上式,得 1|AF| +1|BF| =|AB|p 24 +p2 (|AB|-p)+p 24= 2p (定值). (3)设 AB 的中点为 M(x 0 ,y 0 ),如图,分别过 A,B 作准线的垂线,垂足为 C,D,过 M作准线的垂线,垂足为 N,则|MN|= 12 (|AC|+|BD|)=12 (|AF|+|BF|)=12 |AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

 错误! ! 抛物线几何性质的应用技巧 (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性. (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题,可直接应用公式求解.解题时,需依据抛物线的标准方程,确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定,是 p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差,这是正确解题的关键.

 1.(2020·河南郑州二模)已知抛物线 C:y 2 =2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交 C于 A,B 两点(A,B 均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离的最大值为(

 ) A.2

 B.3 C. 32

  D.4 解析:选 C.设直线 AB 的方程为 x=my+t,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ). 由  x=my+t,y 2 =2x⇒y 2 -2my-2t=0⇒y 1 y 2 =-2t, 由 OA⊥OB⇒x 1 x 2 +y 1 y 2 = (y1 y 2 )

 24+y 1 y 2 =0⇒y 1 y 2 =-4, 所以 t=2,即直线 AB 过定点(2,0). 所以抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离的最大值为 2- 12 =32 .故选 C. 2.(2020·洛阳模拟)已知 F 是抛物线 C 1 :y 2 =2px(p>0)的焦点,曲线 C 2 是以 F 为圆心,p2 为半径的圆,直线 4x-3y-2p=0 与曲线 C 1 ,C 2 从上到下依次相交于点 A,B,C,D,则|AB||CD| =(

 ) A.16

 B.4 C. 83

  D. 53

 解析:选 A.因为直线 4x-3y-2p=0 过 C 1 的焦点 F(C 2 的圆心),故|BF|=|CF|= p2 ,所以|AB||CD| =|AF|- p2|DF|- p2.由抛物线的定义得|AF|- p2 =x A ,|DF|-p2 =x D .由  4x-3y-2p=0,y 2 =2px整理得 8x 2-17px+2p 2 =0,即(8x-p)(x-2p)=0,可得 x A =2p,x D = p8 ,故|AB||CD| =x Ax D =2pp8=16.故选 A.

  直线与抛物线的位置关系(师生共研)

 (2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y 2 =3x 的焦点为 F,斜率为 32 的直线 l 与 C的交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|+|BF|=4,求 l 的方程; (2)若AP→ =3PB → ,求|AB|. 【解】

 设直线 l:y= 32 x+t,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ). (1)由题设得 F 34 ,0 ,故|AF|+|BF|=x 1 +x 2 +32 ,由题设可得 x 1 +x 2 =52 . 由 y= 32 x+t,y 2 =3x可得 9x 2 +12(t-1)x+4t 2 =0,则 x 1 +x 2 =- 12(t-1)9. 从而- 12(t-1)9= 52 ,得 t=-78 . 所以 l 的方程为 y= 32 x-78 . (2)由AP→ =3PB → 可得 y1 =-3y 2 . 由 y= 32 x+t,y 2 =3x可得 y 2 -2y+2t=0. 所以 y 1 +y 2 =2.从而-3y 2 +y 2 =2,故 y 2 =-1,y 1 =3. 代入 C 的方程得 x 1 =3,x 2 = 13 . 故|AB|= 4 133. 错误! ! 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=|x 1 |+|x 2 |+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. [提醒] 涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.

 1.(2020·河南郑州二模)已知抛物线 C:y 2 =4x 的焦点为 F,直线 l 过焦点 F 与抛物线 C分别交于 A,B 两点,且直线 l 不与 x 轴垂直,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 T(5,0),则 S △ AOB =(

 ) A.2 2

 B. 3 C. 6

 D.3 6 解析:选 A.如图所示,F(1,0).设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),线段 AB 的中点 E(x 0 ,y 0 ). 则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y=- 1k (x-5). 联立  y=k(x-1),y 2 =4x化为 ky 2 -4y-4k=0,所以 y 1 +y 2 = 4k ,y 1 y 2 =-4,所以 y 0 =12 (y 1+y 2 )= 2k ,x 0 =y 0k +1=2k 2 +1,把 E 2k 2 +1,2k代入线段 AB 的垂直平分线的方程 y=- 1k (x-5),可得 2k =-1k · 2k 2 +1-5 ,解得 k2 =1. S △ OAB = 12 ×1×|y 1 -y 2 |=12(y 1 +y 2 )

 2 -4y 1 y 2 = 1216k 2 +16=2 2.故选 A.

 2.设 A,B 为曲线 C:y= x22 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 2. (1)求直线 AB 的斜率; (2)设 M 为曲线 C 上一点,曲线 C 在点 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AM⊥BM,求直线 AB 的方程. 解:(1)设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),则 x 1 ≠x 2 ,y 1 = 错误! !,y 2 = 错误! !,x 1 +x 2 =2, 故直线 AB 的斜率 k= y1 -y 2x 1 -x 2 =x 1 +x 22=1. (2)由 y= x22 ,得 y′=x. 设 M(x 3 ,y 3 ),由题设知 x 3 =1,于是 M 1, 12. 设直线 AB 的方程为 y=x+m,故线段 AB 的中点为 N(1,1+m),|MN|= m+ 12. 将 y=x+m 代入 y= x22 , 得 x 2 -2x-2m=0. 由 Δ=4+8m>0,得 m>- 12 ,x 1 , 2 =1± 1+2m. 从而|AB|= 2|x 1 -x 2 |=2 2(1+2m). 由题设知|AB|=2|MN|,即 2(1+2m)= m+ 12,解得 m= 72 或 m=-2(舍). 所以直线 AB 的方程为 y=x+ 72 .

  解析几何中的“设而不求” “设而不求”是简化运算的一种重要手段,它的精彩在于设而不求,化繁为简.解题过程中,巧妙设点,避免解方程组,常见类型有:(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题;(2)根据题意,整体消参或整体代入等. 类型一 巧妙运用抛物线定义得出与根与系数 关系的联系,从而设而不求

 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 x2a 2 -y 2b 2 =1(a>0,b>0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2 =2py(p>0)交于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________. 【解析】

 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),由抛物线的定义可知|AF|=y 1 + p2 ,|BF|=y 2 +p2 ,|OF|= p2 ,由|AF|+|BF|=y 1 +p2 +y 2 +p2 =y 1 +y 2 +p=4|OF|=2p,得 y 1 +y 2 =p. k AB = y2 -y 1x 2 -x 1 = 错误! != 错误! !. 由 错误! !得 k AB = 错误! != 错误! != 错误! !· 错误! !,则 错误! !· 错误! != 错误! !,所以 错误! !=12 ⇒ba =22,所以双曲线的渐近线方程为 y=±22x. 【答案

 y=±22x 类型二 中点弦或对称问题,可以利用“点差法”,“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法

 △ABC 的三个顶点都在抛物线 E:y 2 =2x 上,其中 A(2,2),△ABC 的重心 G 是抛物线 E 的焦点,则 BC 边所在直线的方程为________. 【解析】

 设 B(x 1 ,y 1 ),C(x 2 ,y 2 ),边 BC 的中点为 M(x 0 ,y 0 ),易知 G 12 ,0 ,则 x1 +x 2 +23= 12 ,y 1 +y 2 +23=0, 从而 x 0 = x1 +x 22=- 14 ,y 0 = y1 +y 22=-1,即 M - 14 ,-1 , 又y 2 1 =2x 1 ,y 2 2 =2x 2 ,两式相减得(y 1 +y 2 )(y 1 -y 2 )=2(x 1 -x 2 ),则直线BC的斜率k BC = y1 -y 2x 1 -x 2=2y 1 +y 2 =22y 0 =1y 0 =-1,故直线 BC 的方程为 y-(-1)=- x+ 14,即 4x+4y+5=0. 【答案】

 4x+4y+5=0 类型三 中点弦或对称问题,可以利用“点差法”,但不要忘记验证 Δ>0

 已知双曲线 x 2 - y22 =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点? 【解】

 假设存在直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点. 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),易知 x 1 ≠x 2 ,由 错误! ! 两式相减得(x 1 +x 2 )(x 1 -x 2 )- (y1 +y 2 )(y 1 -y 2 )2=0, 又 x1 +x 22=1, y1 +y 22=1,所以 2(x 1 -x 2 )-(y 1 -y 2 )=0, 所以 k AB = y1 -y 2x 1 -x 2 =2, 故直线 l 的方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 由 y=2x-1,x 2 - y22 =1,消去 y 得 2x 2 -4x+3=0, 因为 Δ=16-24=-8<0,方程无解,故不存在一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点. 类型四 求解直线与圆锥曲线的相关问题时,若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系,可用“替代法”,“替代法”的实质是设而不求

 已知 F 为抛物线 C:y 2 =2x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l 1 ,l 2 ,直线 l 1与 C 交于 A,B 两点,直线 l 2 与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为________. 【解析】

 法一:由题意知,直线 l 1 ,l 2 的斜率都存在且不为 0,F 12 ,0 ,设 l 1 :x=ty+ 12 ,则直线 l 1 的斜率为1t , 联立方程得 y2 =2x,x=ty+ 12 ,消去 x 得 y 2 -2ty-1=0. 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),则 y 1 +y 2 =2t,y 1 y 2 =-1. 所以|AB|= t 2 +1|y 1 -y 2 |= t 2 +1· (y 1 +y 2 )

 2 -4y 1 y 2 = t 2 +1 4t 2 +4=2t 2 +2, 同理得,用- 1t 替换 t 可得|DE|=2t 2 +2,所以|AB|+|DE|=2 t 2 + 1t 2+4≥4+4=8,当且仅当 t 2 = 1t 2 ,即 t=±1 时等号成立,故|AB|+|DE|的最小值为 8. 法二:由题意知,直线 l 1 ,l 2 的斜率都存在且不为 0,F 12 ,0 ,不妨设 l 1 的斜率为 k,则 l 1 :y=k x- 12,l 2 :y=- 1k x- 12. 由 y2 =2x,y=k x- 12, 消去 y 得 k2 x 2 -(k 2 +2)x+ k24 =0, 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),则 x 1 +x 2 =1+2k 2 . 由抛物线的定义知, |AB|=x 1 +x 2 +1=1+2k 2 +1=2+2k 2 . 同理可得,用- 1k 替换|AB|中 k,可得|DE|=2+2k2 ,所以|AB|+|DE|=2+ 2k 2 +2+2k2 =4+2k 2 +2k2 ≥4+4=8,当且仅当 2k 2 =2k2 ,即 k=±1 时等号成立,故|AB|+|DE|的最小值为 8. 【答案】

 8

 [基础题组练] 1.(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线 y 2 =2px(p>0)的焦点是椭圆 x23p +y 2p =1 的一个焦点,则p=(

 ) A.2

 B.3 C.4

 D.8 解析:选 D.由题意,知抛物线的焦点坐标为 p2 ,0 ,椭圆的焦点坐标为(± 2p,0),所以 p2 = 2p,解得 p=8,故选 D. 2.(2020·河北衡水三模)设 F 为抛物线 y 2 =4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若A,B,C 三点坐标分别为(1,2),(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),且|FA→ |+|FB → |+|FC → |=10,则 x1 +x 2 =(

 ) A.6

 B.5 C.4

 D.3 解析:选 A.根据抛物线的定义,知|FA→ |,|FB → |,|FC → |分别等于点 A,B,C 到准线 x=-1的距离,所以由|FA→ |+|FB → |+|FC → |=10,可得 2+x1 +1+x 2 +1=10,即 x 1 +x 2 =6.故选 A. 3.(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为 5 m,跨径为 12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(

 )

 A. 2512

 m

 B. 256 m C. 95

 m

 D. 185 m 解析:选 D.建立如图所示的平面直角坐标系. 设抛物线的解析式为 x 2 =-2py,p>0, 因为抛物线过点(6,-5),所以 36=10p,可得 p= 185, 所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 185 m.故选 D.

 4.(2020·河南安阳三模)已知抛物线 C:y 2 =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,l 与 x 轴的交点为 P,点 A 在抛物线 C 上,过点 A 作 AA′⊥l,垂足为 A′.若四边形 AA′PF 的面积为 14,且 cos∠FAA′= 35 ,则抛物线 C 的方程为(

 ) A.y 2 =x

 B.y 2 =2x C.y 2 =4x

 D.y 2 =8x 解析:选 C.过点 F 作 FF′⊥AA′,垂足为 F′.设|AF′|=3x,因为 cos∠FAA′= 35 ,故|AF|=5x,则|FF′|=4x,由抛物线定义可知,|AF|=|AA′|=5x,则|A′F′|=2x=p,故 x= p2 .四边形AA′PF 的面积 S= (|PF|+|AA′|)·|FF′|2= p+ 52 p ·2p2=14,解得 p=2,故抛物线 C 的方程为y 2 =4x. 5.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y 2 =8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k=(

 ) A. 13

  B.23 C. 23

  D. 2 23 解析:选 D.设抛物线 C:y 2 =8x 的准线为 l,易知 l:x=-2, 直线 y=k(x+2)恒过定点 P(-2,0), 如图,过 A,B 分别作 AM⊥l 于点 M,BN⊥l 于点 N,

 由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|, 所以点 B 为线段 AP 的中点,连接 OB, 则|OB|= 12 |AF|, 所以|OB|=|BF|,所以点 B 的横坐标为 1, 因为 k>0, 所以点 B 的坐标为(1,2 2), 所以 k=2 2-01-(-2)

 =2 23.故选 D. 6.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知|AB|=4 2,|DE|=2 5,则 C 的焦点到准线的距离为________. 解析:由题意,不妨设抛物线方程为 y 2 =2px(p>0),由|AB|=4 2,|DE|=2 5,可取A 4p ,2 2 ,D - p2 , 5 ,设 O 为坐标原点,由|OA|=|OD|, 得 16p 2 +8=p 24 +5,得 p=4. 答案:4 7.过抛物线 C:y 2 =2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线交于点 M,若|MN|=|AB|,则 l 的斜率为________. 解析:设抛物线的准线为 m,分别过点 A,N,B 作 AA′⊥m,NN′⊥m,BB′⊥m,垂足分别为 A′,N′,B′. 因为直线 l 过抛物线的焦点,所以|BB′|=|BF|,|AA′|=|AF|. 又 N 是线段 AB 的中点,|MN|=|AB|,所以|NN′|= 12 (|BB′|+|AA′|)=12 (|BF|+|AF|)=12 |AB|= 12 |MN|,所以∠MNN′=60°,则直线 MN 的倾斜角为 120°.又 MN⊥l,所以直线 l 的倾斜角为 30°,斜率是33. 答案:33 8.(一题多解)已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y 2 =4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于 A,B 两点.若∠AMB=90°,则 k=________. 解析:法一:由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过 C 的焦点且斜率为 k 的直线方程为y=k(x-1)(k≠0),由  y=k(x-1),y 2 =4x,消去 y 得 k 2 (x-1) 2 =4x,即 k 2 x 2 -(2k 2 +4)x+k 2 =0,设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),则 x 1 +x 2 = 2k2 +4k 2,x 1 x 2 =1.由  y=k(x-1),y 2 =4x,消去 x 得 y 2 =4 1k y+1 ,即 y 2 - 4k y-4=0,则 y 1 +y 2 =4k ,y 1 y 2 =-4,由∠AMB=90°,得MA→·MB→=(x 1 +1,y 1 -1)·(x 2+1,y 2 -1)=x 1 x 2 +x 1 +x 2 +1+y 1 y 2 -(y 1 +y 2 )+1=0,将 x 1 +x 2 = 2k2 +4k 2,x 1 x 2 =1 与 y 1 +y 2= 4k ,y 1 y 2 =-4 代入,得 k=2. 法二:设抛物线的焦点为 F,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),则 错误! !所以 y 错误! !-y 错误! !=4(x 1-x 2 ),则 k= y1 -y 2x 1 -x 2 =4y 1 +y 2 ,取 AB 的中点 M′(x 0 ,y 0 ),分别过点 A,B 作准线 x=-1 的垂线,垂足分别为 A′,B′,又∠AMB=90°,点 M 在准线 x=-1 上,所以|MM′|= 12 |AB|=12 (|AF|+|BF|)= 12 (|AA′|+|BB′|).又 M′为 AB 的中点,所以 MM′平行于 x 轴,且 y 0 =1,所以 y 1 +y 2=2,所以 k=2. 答案:2 9.已知过抛物线 y 2 =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )(x 1 <x 2 )两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC→=OA→+ λ OB→,求 λ 的值. 解:(1)由题意得直线 AB 的方程为 y=2 2·x- p2,与 y 2 =2px 联立, 消去 y 有 4x 2 -5px+p 2 =0, 所以 x 1 +x 2 = 5p4. 由抛物线定义得|AB|=x 1 +x 2 +p= 5p4+p=9, 所以 p=4,从而该抛物线的方程为 y 2 =8x. (2)由(1)得 4x 2 -5px+p 2 =0, 即 x 2 -5x+4=0, 则 x 1 =1,x 2 =4, 于是 y 1 =-2 2,y 2 =4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2),设 C(x 3 ,y 3 ), 则OC→=(x 3 ,y 3 )=(1,-2 2)+λ(4,4 2) =(4λ+1,4 2λ-2 2). 又 y 2 3 =8x 3 ,所以[2 2(2λ-1)] 2 =8(4λ+1), 整理得(2λ-1) 2 =4λ+1, 解得 λ=0 或 λ=2. 10.(2020·河北衡水二模)已知抛物线 C:x 2 =2py(p>0)的焦点为 F,点 M(2,m)(m>0)在抛物线上,且|MF|=2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若点 P(x 0 ,y 0 )为抛物线上任意一点,过该点的切线为 l 0 ,证明:过点 F 作切线 l 0 的垂线,垂足必在 x 轴上. 解:(1)由抛物线的定义可知,|MF|=m+ p2 =2,① 又 M(2,m)在抛物线上,所以 2pm=4,② 由①②解得 p=2,m=1, 所以抛物线 C 的方程为 x 2 =4y. (2)证明:①当 x 0 =0,即点 P 为原点时,显然符合; ②x 0 ≠0,即点 P 不在原点时, 由(1)得,x 2 =4y,则 y′= 12 x, 所以抛物线在点 P 处的切线的斜率为 12 x 0 , 所以抛物线在点 P 处的切线 l 0 的方程为 y-y 0 = 12 x 0 (x-x 0 ), 又 x 2 0 =4y 0 , 所以 y-y 0 = 12 x 0 (x-x 0 )可化为 y=12 x 0 x-y 0 . 又过点 F 且与切线 l 0 垂直的方程为 y-1=-2x 0 x. 联立方程得 y= 12 x 0 x-y 0 ,y-1=-2x 0 x, 消去 x,得 y=- 14 (y-1)x20 -y 0 .(*) 因为 x 2 0 =4y 0 , 所以(*)可化为 y=-yy 0 ,即(y 0 +1)y=0, 由 y 0 >0,可知 y=0,即垂足必在 x 轴上. 综上,过点 F 作切线 l 0 的垂线,垂足必在 x 轴上. [综合题组练] 1.(2020·陕西西安一模)已知 F 为抛物线 C:y 2 =6x 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=(

 ) A.6

 B.8 C.10

 D.12 解析:选 B.抛物线 y 2 =6x 的焦点坐标为 32 ,0 ,准线方程为 x=-32 , 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 因为|AF|=3|BF|, 所以 x 1 + 32 =3 x 2 + 32, 所以 x 1 =3x 2 +3, 因为|y 1 |=3|y 2 |,所以 x 1 =9x 2 , 所以 x 1 = 92 ,x 2 =12 , 所以|AB|= x 1 + 32+ x 2 + 32=8. 故选 B. 2.过抛物线 y 2 =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为(

 ) A.22

 B. 2 C. 3 22

 D.2 2 解析:选 C. 由题意设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )(y 1 >0,y 2 <0),如图所示,|AF|=x 1 +1=3, 所以 x 1 =2,y 1 =2 2. 设 AB 的方程为 x-1=ty, 由  y 2 =4x,x-1=ty

 消去 x 得 y 2 -4ty-4=0. 所以 y 1 y 2 =-4,所以 y 2 =- 2,x 2 = 12 , 所以 S △ AOB = 12 ×1×|y 1 -y 2 |=3 22,故选 C. 3.(2020·江西九江二模)已知抛物线 C:x 2 =4y 的焦点为 F,直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,连接 AF 并延长交抛物线 C 于点 D,若 AB 中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB 最大时,|AD|=(

 ) A.4

 B.8 C.16

 D. 163 解析:选 C.设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),D(x 3 ,y 3 ), 由抛物线定义得 y 1 +y 2 +2=|AF|+|BF|, 因为 y1 +y 22=|AB|-1, 所以|AF|+|BF|=2|AB|, 所以 cos∠AFB= |AF|2 +|BF| 2 -|AB| 22|AF|·|BF| = 3(|AF|2 +|BF| 2 )-2|AF|·|BF|8|AF|·|BF| ≥ 6|AF|·|BF|-2|AF|·|BF|8|AF|·|BF|= 12 , 当且仅当|AF|=|BF|时取等号. 所以当∠AFB 最大时,△AFB 为等边三角形, 联立   y= 3x+1,x 2 =4y,消去 y 得,x 2 -4 3x-4=0, 所以 x 1 +x 3 =4 3, 所以 y 1 +y 3 = 3(x 1 +x 3 )+2=14. 所以|AD|=16. 故选 C.

 4.已知直线 y=a 交抛物线 y=x 2 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB为直角,则实数 a 的取值范围为________.

 解析:如图,设 C(x 0 ,x 2 0 )(x 2 0 ≠a),A(- a,a),B( a,a), 则CA→ =(- a-x0 ,a-x 2 0 ),CB→ =( a-x0 ,a-x 2 0 ). 因为 CA⊥CB,所以CA→ ·CB → =0, 即-(a-x 2 0 )+(a-x 2 0 ) 2 =0,(a-x 2 0 )(-1+a-x 2 0 )=0, 所以 x 2 0 =a-1≥0,所以 a≥1. 答案:[1,+∞) 5.已知抛物线的方程为 x 2 =2py(p>0),其焦点为 F,点 O 为坐标原点,过焦点 F 作斜率为 k(k≠0)的直线与抛物线交于 A,B 两点,过 A,B 两点分别作抛物线的两条切线,设两条切线交于点 M. (1)求OA→·OB→; (2)设直线 MF 与抛物线交于 C,D 两点,且四边形 ACBD 的面积为 323p 2 ,求直线 AB 的斜率 k. 解:(1)设直线 AB 的方程为 y=kx+ p2 ,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),由  x2 =2py,y=kx+ p2 ,得 x 2 -2pkx-p 2 =0, 则  x 1 +x 2 =2pk,x 1 ·x 2 =-p 2 , 所以 y1 ·y 2 = p24 , 所以OA→·OB→=x 1 ·x 2 +y 1 ·y 2 =- 34 p2 . (2)由 x 2 =2py,知 y′= xp , 所以抛物线在 A,B 两点处的切线的斜率分别为 x 1p ,x 2p ,所以直线 AM 的方程为 y-y 1 =x 1p (x-x 1 ),直线 BM 的方程为 y-y 2 =x 2p (x-x 2 ),则可得 M pk,- p2. 所以 k MF =- 1k ,所以直线 MF 与 AB 相互垂直. 由弦长公式知,|AB|= k 2 +1|x 1 -x 2 |= k 2 +1· 4p 2 k 2 +4p 2 =2p(k 2 +1), 用- 1k 代替 k 得,|CD|=2p 1k 2 +1 , 四边形 ACBD 的面积 S= 12 ·|AB|·|CD|=2p2  2+k 2 +1k 2= 323p 2 ,解得 k 2 =3 或 k 2 = 13 , 即 k=± 3或 k=±33. 6.已知抛物线 C:x 2 =2py(p>0)和定点 M(0,1),设过点 M 的动直线交抛物线 C 于 A,B 两点,抛物线 C 在 A,B 处的切线的交点为 N. (1)若 N 在以 AB 为直径的圆上,求 p 的值; (2)若△ABN 的面积的最小值为 4,求抛物线 C 的方程. 解:设直线 AB:y=kx+1,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 将直线 AB 的方程代入抛物线 C 的方程得 x 2 -2pkx-2p=0, 则 x 1 +x 2 =2pk,x 1 x 2 =-2p.① (1)由 x 2 =2py 得 y′= xp ,则 A,B 处的切线斜率的乘积为x 1 x 2p 2=- 2p , 因为点 N 在以 AB 为直径的圆上,所以 AN⊥BN, 所以- 2p =-1,所以 p=2. (2)易得直线 AN:y-y 1 = x 1p (x-x 1 ),直线 BN:y-y 2 =x 2p (x-x 2 ), 联立,得 y-y 1 = x1p (x-x 1 ),y-y 2 = x 2p (x-x 2 ), 结合①式,解得  x=pk,y=-1, 即 N(pk,-1). |AB|= 1+k 2 |x 2 -x 1 |= 1+k 2 (x 1 +x 2 )

 2 -4x 1 x 2 = 1+k 2 4p 2 k 2 +8p, 点 N 到直线 AB 的距离 d= |kxN +1-y N |1+k 2= |pk2 +2|1+k 2 , 则△ABN 的面积 S △ ABN = 12 ·|AB|·d= p(pk2 +2)

 3 ≥2 2p,当 k=0 时,取等号, 因为△ABN 的面积的最小值为 4, 所以 2 2p=4,所以 p=2,故抛物线 C 的方程为 x 2 =4y.

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