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第2讲 参数方程

来源:蝎子 时间:2020-06-15 点击:

第 2 讲 参数方程

 一、知识梳理 1.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数,从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么  x=f(t),y=g(t)就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致. 2.直线、圆和圆锥曲线的参数方程

 名称 普通方程 参数方程 直线 y-y 0 =k(x-x 0 )   x=x 0 +tcos αy=y 0 +tsin α (t 为参数) 圆 (x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 =R 2

   x=x 0 +Rcos θy=y 0 +Rsin θ (θ 为参数且 0≤θ<2π) 椭圆 x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b>0)   x=acos ty=bsin t (t 为参数且 0≤t<2π) 抛物线 y 2 =2px(p>0)   x=2pt 2y=2pt(t 为参数) 常用结论 1.直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用:

 已知直线 l 经过点 M 0 (x 0 ,y 0 ),倾斜角为 α,点 M(x,y)为 l 上任意一点,则直线 l 的参数方程为  x=x 0 +tcos α ,y=y 0 +tsin α(t 为参数). ①若 M 1 ,M 2 是直线 l 上的两个点,对应的参数分别为 t 1 ,t 2 ,则|M 0 M 1→| |M 0 M 2→|=|t 1 t 2 |,|M 1 M 2→|=|t 2 -t 1 |= (t 2 +t 1 )

 2 -4t 1 t 2 ; ②若线段 M 1 M 2 的中点为 M 3 ,点 M 1 ,M 2 ,M 3 对应的参数分别为 t 1 ,t 2 ,t 3 ,则 t 3 = t1 +t 22; ③若直线 l 上的线段 M 1 M 2 的中点为 M 0 (x 0 ,y 0 ),则 t 1 +t 2 =0,t 1 t 2 <0. (2)一个易错点:在使用直线参数方程的几何意义时,要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值.否则参数不具备该几何含义. 2.掌握圆的参数方程的两种应用 (1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题,通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系. (2)求距离的问题,通过设圆的参数方程,就转化为求三角函数的值域问题. 二、教材衍化 1.曲线  x=-1+cos θ ,y=2+sin θ(θ 为参数)的对称中心(

 ) A.在直线 y=2x 上

 B.在直线 y=-2x 上 C.在直线 y=x-1 上

 D.在直线 y=x+1 上 解析:选 B.由  x=-1+cos θ ,y=2+sin θ ,得  cos θ =x+1,sin θ =y-2. 所以(x+1) 2 +(y-2) 2 =1.曲线是以(-1,2)为圆心,1 为半径的圆,所以对称中心为(-1,2),在直线 y=-2x 上. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:  x=t,y=t-a (t 为参数)过椭圆 C:

   x=3cos φ ,y=2sin φ(φ为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________. 解析:直线 l 的普通方程为 x-y-a=0, 椭圆 C 的普通方程为 x29 +y 24 =1, 所以椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0),若直线 l 过点(3,0), 则 3-a=0, 所以 a=3. 答案:3

 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)参数方程  x=f(t),y=g(t)中的 x,y 都是参数 t 的函数.(

 ) (2)过 M 0 (x 0 ,y 0 ),倾斜角为 α α≠ π2的直线 l 的参数方程为  x=x 0 +tcos α ,y=y 0 +tsin α(t 为参数).参数 t 的几何意义表示:直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 M(x,y)为终点的有向线段 M 0 M的数量.(

 ) (3)方程  x=2cos θ ,y=1+2sin θ (θ 为参数)表示以点(0,1)为圆心,以 2 为半径的圆.(

 ) (4)已知椭圆的参数方程  x=2cos t,y=4sin t(t 为参数),点 M 在椭圆上,对应参数 t= π3 ,点 O为原点,则直线 OM 的斜率为 3.(

 ) 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏 常见误区 | K(1)不注意互化的等价性致误; (2)直线参数方程中参数 t 的几何意义不清致误; (3)交点坐标计算出错致错. 1.若曲线 C 的参数方程为  x=1+cos 2 θ ,y=sin 2 θ(θ 为参数),则曲线 C 上的点的轨迹是(

 ) A.直线 x+2y-2=0 B.以(2,0)为端点的射线 C.圆(x-1) 2 +y 2 =1 D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段 解析:选 D.将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1).故选 D. 2.已知直线  x=x 0 +at,y=y 0 +bt(t 为参数)上两点 A,B 对应的参数值是 t 1 ,t 2 ,则|AB|=(

 ) A.|t 1 +t 2 |

 B.|t 1 -t 2 | C. a 2 +b 2 |t 1 -t 2 |

 D.|t 1 -t 2 |a 2 +b 2

 解 析 :

 选 C. 依 题 意 , A(x 0 + at 1 , y 0 + bt 1 ) , B(x 0 + at 2 , y 0 + bt 2 ) , 则 |AB| =[x 0 +at 1 -(x 0 +at 2 )] 2 +[y 0 +bt 1 -(y 0 +bt 2 )] 2 = a 2 +b 2 |t 1 -t 2 |.故选 C. 3.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ(cos θ +sin θ )=-2,曲线 C 2 的参数方程为   x=t2 ,y=2 2t (t 为参数),则 C 1 与 C 2 交点的直角坐标为________. 解析:由 ρ(cos θ +sin θ )=-2,得 x+y=-2 ①. 又   x=t2 ,y=2 2t, 消去 t,得 y2 =8x ②. 联立①②得  x=2,y=-4, 即交点坐标为(2,-4). 答案:(2,-4)

 参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1.将下列参数方程化为普通方程. (1) x= 1t ,y= 1tt 2 -1(t 为参数); (2)  x=2+sin 2 θ ,y=-1+cos 2 θ (θ 为参数). 解:(1)由 t 2 -1≥0⇒t≥1 或 t≤-1 ⇒0<x≤1 或-1≤x<0.由 x= 1t ①,y= 1tt 2 -1②, ①式代入②式得 x 2 +y 2 =1. 其中  0<x≤1,0≤y<1或  -1≤x<0,-1<y≤0. (2)由 x=2+sin 2 θ ,0≤sin 2 θ ≤1 ⇒2≤2+sin 2 θ ≤3⇒2≤x≤3,   x=2+sin 2 θ ,y=-1+cos 2θ ⇒   x-2=sin 2 θ ,y=-1+1-2sin 2 θ ⇒   x-2=sin 2 θ ,y=-2sin 2 θ⇒2x+y-4=0(2≤x≤3). 2.已知曲线 C 1 :  x=-4+cos t,y=3+sin t(t 为参数),曲线 C 2 :  x=8cos θ ,y=3sin θ(θ 为参数).化C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线. 解:曲线 C 1 :(x+4) 2 +(y-3) 2 =1,曲线 C 2 :

 x264 +y 29 =1, 所以曲线 C 1 是以(-4,3)为圆心,1 为半径的圆; 曲线 C 2 是中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. 错误! ! 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等.对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参,如 sin 2 θ +cos 2 θ =1 等. (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.

 参数方程的应用(师生共研)

 (2020·安徽宣城模拟)在直角坐标系 xOy 中,圆 O 的参数方程为  x=2cos θ ,y=2sin θ(θ为参数),直线 l 的参数方程为  x=2+t,y=4+t(t 为参数). (1)若直线 l 与圆 O 相交于 A,B 两点,求弦长|AB|,若点 P(2,4),求|PA|·|PB|的值; (2)以该直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ +2 3sin θ ,圆 O 和圆 C 的交点为 P,Q,求弦 PQ 所在直线的直角坐标方程. 【解】

 (1)由直线 l 的参数方程  x=2+t,y=4+t(t 为参数),消去参数 t 可得 x-y+2=0,即直线 l 的普通方程为 x-y+2=0. 圆 O 的参数方程为  x=2cos θ ,y=2sin θ(θ 为参数),根据 sin 2 θ +cos 2 θ =1 消去参数 θ,可得x 2 +y 2 =4,所以圆心 O 到直线 l 的距离 d=22 = 2,故弦长|AB|=2r 2 -d 2 =2 2. 把直线 l 的参数方程标准化可得 x=2+22t,y=4+22t,将其代入圆 O 的方程 x 2 +y 2 =4 得 t 2 +6 2t+16=0, 设 A,B 两点对应的参数分别为 t 1 ,t 2 , 所以|PA|·|PB|=|t 1 t 2 |=16. (2)圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ +2 3sin θ ,利用 ρ 2 =x 2 +y 2 , ρ cos θ =x, ρ sin θ =y,可得圆 C 的普通方程为 x 2 +y 2 =2x+2 3y. 因为圆 O 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 =4,所以弦 PQ 所在直线的直角坐标方程为 4=2x+2 3y,即 x+ 3y-2=0. 错误! ! (1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题,如最值、范围等. (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下常用结论:

 过定点 M 0 的直线与圆锥曲线相交,交点为 M 1 ,M 2 ,所对应的参数分别为 t 1 ,t 2 . ①弦长 l=|t 1 -t 2 |; ②弦 M 1 M 2 的中点⇒t 1 +t 2 =0; ③|M 0 M 1 ||M 0 M 2 |=|t 1 t 2 |.

 1.(2020·日照模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ- π3,直线 l 过点 P(0,- 3)且倾斜角为 π3 . (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值. 解:(1)曲线 C:ρ=4cos θ- π3⇒ ρ =4cos θ cos π3 +4sin θ sin π3 , 所以 ρ 2 =2ρcos θ +2 3ρsin θ , 即 x 2 +y 2 =2x+2 3y, 得曲线 C 的直角坐标方程为(x-1) 2 +(y- 3) 2 =4. 直线 l 的参数方程为 x=12 t,y=- 3+32t(t 为参数). (2)将 x=12 t,y=- 3+32t(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程,得 12 t-12+ 32t-2 32=4, 整理得 t 2 -7t+9=0,设点 A,B 对应的参数分别为 t 1 ,t 2 ,则 t 1 +t 2 =7,t 1 t 2 =9,所以t 1 >0,t 2 >0,所以|PA|+|PB|=t 1 +t 2 =7. 2.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为  x=3cos θ ,y=sin θ(θ 为参数),直线 l 的参数方程为  x=a+4t,y=1-t(t 为参数). (1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a. 解:(1)曲线 C 的普通方程为 x29 +y2 =1. 当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0. 由 x+4y-3=0,x 29 +y2 =1, 解得  x=3,y=0或 x=- 2125 ,y= 2425 . 从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0), - 2125 ,2425. (2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上的点(3cos θ ,sin θ )到 l 的距离为 d= |3cos θ +4sin θ -a-4|17= |5sin(θ+φ)-a-4|17,φ 满足 tan φ= 34 . 当-a-4≤0,即 a≥-4 时,d 的最大值为 a+917 . 由题设得 a+917= 17,所以 a=8; 当-a-4>0,即 a<-4 时,d 的最大值为 -a+117, 由题设得 -a+117= 17,所以 a=-16. 综上,a=8 或 a=-16.

 参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)

 (2020·淄博模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 x= 3+tcos α ,y=2+tsin α(α 为参数).在以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=21+3cos 2 θ ,直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A,B. (1)若 α= π6 ,求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若|OP|为|PA|与|PB|的等比中项,其中 P( 3,2),求直线 l 的斜率. 【解】

 (1)因为 α= π6 ,所以直线 l 的参数方程为  x= 3+32t,y=2+ 12 t(t 为参数). 消 t 可得直线 l 的普通方程为 x- 3y+ 3=0. 因为曲线 C 的极坐标方程 ρ=21+3cos 2 θ 可化为 ρ2 (1+3cos 2 θ )=4, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 4x 2 +y 2 =4. (2)设直线 l 上两点 A,B 对应的参数分别为 t 1 ,t 2 , 将   x= 3+tcos α ,y=2+tsin α代入曲线 C 的直角坐标方程 4x 2 +y 2 =4 可得 4( 3+tcos α ) 2 +(2+tsin α ) 2 =4, 化简得(4cos 2 α +sin 2 α )t 2 +(8 3cos α +4sin α )t+12=0, 因为|PA|·|PB|=|t 1 t 2 |=124cos 2 α +sin 2 α ,|OP|2 =7, 所以124cos 2 α +sin 2 α =7,解得 tan2 α = 165. 因为 Δ=(8 3cos α +4sin α ) 2 -48(4cos 2 α +sin 2 α )>0 即 2sin α (2 3cos α -sin α )>0,可知 tan α >0, 解得 tan α = 4 55, 所以直线 l 的斜率为 4 55. 错误! ! (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程. (2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用 ρ 和 θ 的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.

 1.(2020·河南省第五次测评)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 :

   x= 5cos α ,y=2+ 5sin α (α 为参数).以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 :ρ 2 =4ρcos θ -3. (1)求 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 1 与 C 2 交于 A,B 两点,A,B 的中点为 M,点 P(0,-1),求|PM|·|AB|的值. 解:(1)曲线 C 1 的普通方程为 x 2 +(y-2) 2 =5. 由 ρ 2 =x 2 +y 2 , ρ cos θ =x,得曲线 C 2 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 -4x+3=0. (2)将两圆的方程 x 2 +(y-2) 2 =5 与 x 2 +y 2 -4x+3=0 作差得直线 AB 的方程为 x-y-1=0. 点 P(0,-1)在直线 AB 上,设直线 AB 的参数方程为 x=22t,y=-1+22t(t 为参数), 代入 x 2 +y 2 -4x+3=0 化简得 t 2 -3 2t+4=0,所以 t 1 +t 2 =3 2,t 1 t 2 =4. 因为点 M 对应的参数为 t1 +t 22= 3 22, 所以|PM|·|AB|= t 1 +t 22·|t 1 -t 2 |= 3 22× (t 1 +t 2 )

 2 -4t 1 t 2 = 3 22× 18-4×4=3. 2.(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 x= 1-t21+t 2 ,y=4t1+t 2(t 为参数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ + 3ρsin θ +11=0. (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值. 解:(1)因为-1< 1-t21+t 2 ≤1, 且 x 2 + y22=  1-t 21+t 22+4t 2(1+t 2 )

 2 =1, 所以 C 的直角坐标方程为 x 2 + y24 =1(x≠-1). l 的直角坐标方程为 2x+ 3y+11=0. (2)由(1)可设 C 的参数方程为  x=cos α ,y=2sin α(α 为参数,-π<α<π). C 上的点到 l 的距离为 |2cos α +2 3sin α +11|7=4cos α - π3+117. 当 α=- 2π3时,4cos α- π3+11 取得最小值 7,故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7.

  [基础题组练] 1.(2020·安徽巢湖模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l: x=-12 t,y=3+32t(t 为参数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4sin(θ+ π3 ). (1)求曲线 C 的直角坐标方程. (2)设点 M 的直角坐标为(0,3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|+|MB|的值. 解:(1)把 ρ=4sin θ+ π3,展开得 ρ=2sin θ +2 3 cos θ ,两边同乘 ρ 得 ρ 2 =2ρsin θ+2 3ρcos θ

 ①. 将 ρ 2 =x 2 +y 2 , ρ cos θ =x, ρ sin θ =y 代入①, 即得曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 -2 3x-2y=0 ②. (2)将 x=-12 t,y=3+32t代入②式,得 t 2 +3 3t+3=0, 点 M 的直角坐标为(0,3). 设这个方程的两个实数根分别为 t 1 ,t 2 , 则 t 1 +t 2 =-3 3,t 1 ·t 2 =3, 所以 t 1 <0,t 2 <0. 则由参数 t 的几何意义即得|MA|+|MB|=|t 1 +t 2 |=3 3. 2.(2020·太原模拟)在直角坐标系中,圆 C 的参数方程为: x=1+2cos α ,y= 3+2sin α(α 为参数),以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若直线 l:  x=tcos φ ,y=tsin φ(t 为参数)被圆 C 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的倾斜角. 解:(1)圆 C:

   x=1+2cos α ,y= 3+2sin α , 消去参数 α 得(x-1)2 +(y- 3) 2 =4, 即 x 2 +y 2 -2x-2 3y=0, 因为 ρ 2 =x 2 +y 2 ,x=ρcos θ ,y=ρsin θ . 所以 ρ 2 -2ρcos θ -2 3ρsin θ =0, ρ =4cos θ- π3. (2)因为直线 l:  x=tcos φ ,y=tsin φ的极坐标方程为 θ=φ, 当 θ=φ 时 ρ=4cos φ- π3=2 3. 即 cos φ- π3=32, 所以 φ- π3 =π6 或 φ-π3 =-π6 . 所以 φ= π2 或 φ=π6 , 所以直线 l 的倾斜角为 π6 或π2 . 3.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为  x=2t-1,y=-4t-2 (t 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ =21-cos θ .

 (1)求曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)设 M 1 是曲线 C 1 上的点,M 2 是曲线 C 2 上的点,求|M 1 M 2 |的最小值. 解:(1)因为 ρ=21-cos θ , 所以 ρ-ρcos θ =2, 即 ρ=ρcos θ +2. 因为 x=ρcos θ , ρ 2 =x 2 +y 2 , 所以 x 2 +y 2 =(x+2) 2 ,化简得 y 2 -4x-4=0. 所以曲线 C 2 的直角坐标方程为 y 2 -4x-4=0. (2)因为  x=2t-1,y=-4t-2,

 所以 2x+y+4=0. 所以曲线 C 1 的普通方程为 2x+y+4=0. 因为 M 1 是曲线 C 1 上的点,M 2 是曲线 C 2 上的点, 所以|M 1 M 2 |的最小值等于点 M 2 到直线 2x+y+4=0 的距离的最小值. 不妨设 M 2 (r 2 -1,2r),点 M 2 到直线 2x+y+4=0 的距离为 d, 则 d= 2|r2 +r+1|5=2 r+ 122+ 345≥32 5 =3 510, 当且仅当 r=- 12 时取等号. 所以|M 1 M 2 |的最小值为 3 510. 4.在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为  x=3cos α ,y=2sin α(α 为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 D 的极坐标方程为 ρ=4sin θ- π6. (1)写出曲线 C 的极坐标方程以及曲线 D 的直角坐标方程; (2)若过点 A 2 2, π4(极坐标)且倾斜角为 π3 的直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点,弦 MN的中点为 P,求|AP||AM|·|AN| 的值. 解:(1)由题意可得曲线 C 的普通方程为 x29 +y 24 =1, 将  x=ρcos θ ,y=ρsin θ代入曲线 C 的普通方程可得,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2 cos 2 θ9+ ρ2 sin 2 θ4=1. 因为曲线 D 的极坐标方程为 ρ=4sin θ- π6, 所以 ρ 2 =4ρsin θ- π6=4ρ 32sin θ - 12 cos θ, 又 ρ 2 =x 2 +y 2 ,x=ρcos θ ,y=ρsin θ , 所以 x 2 +y 2 =2 3y-2x, 所以曲线 C 的极坐标方程为 ρ2 cos 2 θ9+ ρ2 sin 2 θ4=1;曲线 D 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 +2x-2 3y=0. (2)点 A 2 2, π4,则 x=2 2cos π4 =2,y=2 2sin π4 =2,所以 A(2,2). 因为直线 l 过点 A(2,2)且倾斜角为 π3 ,所以直线 l 的参数方程为  x=2+tcos π3 ,y=2+tsin π3(t 为参数),代入 x29 +y 24 =1 中可得,314t 2 +(8+18 3)t+16=0, 设 M,N 对应的参数分别为 t 1 ,t 2 , 由一元二次方程根与系数的关系得,t 1 +t 2 =- 32+72 331,t 1 t 2 = 6431 , 所以|AP||AM|·|AN| =t 1 +t 22|t 1 t 2 |= 4+9 316. [综合题组练] 1.(2020·广州模拟)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 :

   x=2+ 7cos α ,y= 7sin α(α 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ =8cos θ ,直线l 的极坐标方程为 θ= π3 (ρ∈R). (1)求曲线 C 1 的极坐标方程与直线 l 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 1 ,C 2 在第一象限分别交于 A,B 两点,P 为曲线 C 2 上的动点,求△PAB 面积的最大值. 解:(1)依题意得,曲线 C 1 的普通方程为(x-2) 2 +y 2 =7,曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 -4ρcos θ -3=0. 直线 l 的直角坐标方程为 y= 3x. (2)曲线 C 2 的直角坐标方程为(x-4) 2 +y 2 =16, 设 A ρ 1 , π3,B ρ 2 , π3, 则 ρ 2 1 -4ρ 1 cos π3 -3=0,即 ρ21 -2ρ 1 -3=0, 得 ρ 1 =3 或 ρ 1 =-1(舍), 又 ρ 2 =8cos π3 =4,则|AB|=|ρ 2 -ρ 1 |=1. C 2 (4,0)到 l 的距离 d= |4 3|4=2 3,以 AB 为底边的△PAB 的高的最大值为 4+2 3, 则△PAB 的面积的最大值为 12 ×1×(4+2 3)=2+ 3. 2.(2020·南昌模拟)在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ -ρsin θ =2,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin 2 θ=2Pcos θ (P>0). (1)求直线 l 过点(-2,-4)的参数方程; (2)已知直线 l 与曲线 C 交于 N,Q 两点,M(-2,-4),且|NQ| 2 =|MN|·|MQ|,求实数 P的值. 解:(1)将 x=ρcos θ ,y=ρsin θ 代入直线 l 的极坐标方程,得直线 l 的直角坐标方程为 x-y-2=0. 所以直线 l 过点(-2,-4)的参数方程为 x=-2+22t,y=-4+22t(t 为参数). (2)由 ρsin 2 θ =2Pcos θ (P>0), 得(ρsin θ ) 2 =2Pρcos θ (P>0), 将 ρcos θ =x, ρ sin θ =y 代入,得 y 2 =2Px(P>0). 将直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程联立,得 t 2 -2 2(4+P)t+8(4+P)=0,(*) Δ =8P(4+P)>0. 设点 N,Q 分别对应参数 t 1 ,t 2 ,恰好为上述方程的根, 则|MN|=t 1 ,|MQ|=t 2 ,|NQ|=|t 1 -t 2 |. 由题设得(t 1 -t 2 ) 2 =|t 1 t 2 |,即(t 1 +t 2 ) 2 -4t 1 t 2 =|t 1 t 2 |. 由(*)得 t 1 +t 2 =2 2(4+P),t 1 t 2 =8(4+P)>0, 则有(4+P) 2 -5(4+P)=0, 得 P=1 或 P=-4.因为 P>0,所以 P=1. 3.(2020·栖霞模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为  x=acos t,y=2sin t(t 为参数,a>0),以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ+ π4=-4 2. (1)设 P 是曲线 C 上的一个动点,当 a=2 3时,求点 P 到直线 l 的距离的最小值; (2)若曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 ρcos θ+ π4=-4 2,得到 ρ(cos θ -sin θ )=-8, 因为 ρcos θ =x, ρ sin θ =y, 所以直线 l 的普通方程为 x-y+8=0. 设 P(2 3cos t,2sin t),则点 P 到直线 l 的距离 d= |2 3cos t-2sin t+8|2=|4sin t- π3-8|2 =2 2|sin t- π3-2|, 当 sin t- π3=1 时,d min =2 2, 所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 2. (2)设曲线 C 上任意点 P(acos t,2sin t),由于曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方, 所以 acos t-2sin t+8>0 对任意 t∈R 恒成立. a 2 +4sin(t-φ)<8,其中 cos φ=2a 2 +4 , sin φ=aa 2 +4 . 从而 a 2 +4<8. 由于 a>0,解得 0<a<2 15. 即 a∈(0,2 15). 4.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为   x=-5+ 2cos t,y=3+ 2sin t(t 为参数),在以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ+π4 )=- 2. (1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,点 P 是圆 C 上任意一点,求 A,B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值. 解:(1)由   x=-5+ 2cos t,y=3+ 2sin t,消去参数 t, 得(x+5) 2 +(y-3) 2 =2, 所以圆 C 的普通方程为(x+5) 2 +(y-3) 2 =2. 由 ρcos (θ+ π4 )=- 2,得 ρcos θ -ρsin θ =-2, 所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+2=0. (2)直线 l 与 x 轴,y 轴的交点分别为 A(-2,0),B(0,2),化为极坐标为 A(2,π),B 2, π2, 设点 P 的坐标为(-5+ 2cos t,3+ 2sin t),则点 P 到直线 l 的距离为 d=|-5+ 2cos t-3- 2sin t+2|2 =|-6+2cos t+ π4|2. 所以 d min =42 =2 2,又|AB|=2 2. 所以△PAB 面积的最小值是 S= 12 ×2 2×2 2=4.

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