第8讲　曲线与方程

第 8 讲 曲线与方程

　一、知识梳理 1．曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：

　(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点 设曲线 C 1 的方程为 F 1 (x，y)＝0，曲线 C 2 的方程为 F 2 (x，y)＝0，则 C 1 ，C 2 的交点坐标即为方程组  F 1 （x，y）＝0，F 2 （x，y）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点． 3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)． (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式． (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于 x，y 的方程式，并化简． (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 常用结论 1．“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件． 2．曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． 二、教材衍化 1．已知点 F 14 ，0 ，直线 l：x＝－14 ，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是(

　) A．双曲线

　B．椭圆 C．圆

　D．抛物线 解析：选 D.由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线． 2．曲线 C：xy＝2 上任一点到两坐标轴的距离之积为________． 解析：在曲线 xy＝2 上任取一点(x 0 ，y 0 )，则 x 0 y 0 ＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x 0 ||y 0 |＝|x 0 y 0 |＝2. 答案：2 3．已知⊙O 的方程为 x 2 ＋y 2 ＝4，过 M(4，0)的直线与⊙O 交于 A，B 两点，则弦 AB 中点 P 的轨迹方程为________． 解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以 P 点轨迹是以 OM 为直径的圆且在⊙O 内的部分．以 OM 为直径的圆的方程为(x－2) 2 ＋y 2 ＝4，它与⊙O 的交点为(1，± 3)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2) 2 ＋y 2 ＝4(0≤x＜1)．

　答案：(x－2) 2 ＋y 2 ＝4(0≤x＜1)

　一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“f(x 0 ，y 0 )＝0”是“点 P(x 0 ，y 0 )在曲线 f(x，y)＝0 上”的充要条件．(

　) (2)方程 x 2 ＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．(

　) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(

　) (4)方程 y＝ x与 x＝y 2 表示同一曲线．(

　) (5)y＝kx 与 x＝ 1k y 表示同一直线．(

　) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 二、易错纠偏 常见误区 | Ｋ(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错； (2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”． 1．(1)平面内与两定点 A(2，2)，B(0，0)距离的比值为 2 的点的轨迹是________． (2)设动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C：x 2 ＋y 2 －2x＝0 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为________． 解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则 （x－2）

　2 ＋（y－2）

　2x 2 ＋y 2＝2，整理得 3x 2 ＋3y 2 ＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆． (2)若动圆在 y 轴右侧，则动圆圆心到定点 C(1，0)与到定直线 x＝－1 的距离相等，其轨迹是抛物线，且 p2 ＝1，所以其方程为 y2 ＝4x(x＞0)；若动圆在 y 轴左侧，则圆心轨迹是 x轴负半轴，其方程为 y＝0(x＜0)．故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ＝4x(x＞0)或 y＝0(x＜0)． 答案：(1)圆 (2)y 2 ＝4x(x＞0)或 y＝0(x＜0) 2．已知 A(－2，0)，B(1，0)两点，动点 P 不在 x 轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O 为原点，则 P 点的轨迹方程是________． 解析：由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设 P(x，y)，则 （x＋2）

　2 ＋y 2 ＝2 （x－1）

　2 ＋y 2 ，整理得(x－2) 2 ＋y 2 ＝4(y≠0)． 答案：(x－2) 2 ＋y 2 ＝4(y≠0)

　 直接法求轨迹方程(师生共研)

　已知△ABC 的三个顶点分别为 A(－1，0)，B(2，3)，C(1，2 2)，定点 P(1，1)． (1)求△ABC 外接圆的标准方程； (2)若过定点 P 的直线与△ABC 的外接圆交于 E，F 两点，求弦 EF 中点的轨迹方程． 【解】

　(1)由题意得 AC 的中点坐标为(0， 2)，AB 的中点坐标为 12 ，32，k AC ＝ 2，k AB ＝1，故 AC 中垂线的斜率为－22，AB 中垂线的斜率为－1，则 AC 的中垂线的方程为 y－ 2＝－22x，AB 的中垂线的方程为 y－ 32 ＝－ x－ 12. 由 y－ 32 ＝－ x－ 12，y－ 2＝－22x， 得  x＝2，y＝0，

　所以△ABC 的外接圆圆心为(2，0)，半径 r＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x－2) 2 ＋y 2 ＝9. (2)设弦 EF 的中点为 M(x，y)，△ABC 外接圆的圆心为 N，则 N(2，0)， 由 MN⊥MP，得NM→·PM→＝0， 所以(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0， 整理得 x 2 ＋y 2 －3x－y＋2＝0， 所以弦 EF 中点的轨迹方程为 x－ 322＋ y－ 122＝ 12 . 错误! ! (1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点． (2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．

　已知坐标平面上动点 M(x，y)与两个定点 P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|. (1)求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中轨迹为 C，若过点 N(－2，3)的直线 l 被 C 所截得的线段长度为 8，求直线 l的方程． 解：(1)由|MP|＝5|MQ|，得 （x－26）

　2 ＋（y－1）

　2 ＝5 （x－2）

　2 ＋（y－1）

　2 ， 化简得 x 2 ＋y 2 －2x－2y－23＝0， 所以点 M 的轨迹方程是(x－1) 2 ＋(y－1) 2 ＝25，轨迹是以(1，1)为圆心，5 为半径的圆． (2)当直线 l 的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段长度为 2× 5 2 －3 2 ＝8， 所以 l：x＝－2 符合题意． 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y－3＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋3＝0， 圆心(1，1)到 l 的距离 d＝ |3k＋2|k 2 ＋1 ， 由题意，得  |3k＋2|k 2 ＋12＋4 2 ＝5 2 ，解得 k＝512 ， 所以直线 l 的方程为512 x－y＋236＝0， 即 5x－12y＋46＝0. 综上，直线 l 的方程为 x＝－2 或 5x－12y＋46＝0.

　定义法求轨迹方程(师生共研) 已知圆 C 与两圆 x 2 ＋(y＋4) 2 ＝1，x 2 ＋(y－2) 2 ＝1 外切，圆 C 的圆心轨迹为 L，设L 上的点与点 M(x，y)的距离的最小值为 m，点 F(0，1)与点 M(x，y)的距离为 n. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程； (2)求满足条件 m＝n 的点 M 的轨迹 Q 的方程． 【解】

　(1)两圆半径都为 1，两圆圆心分别为 C 1 (0，－4)，C 2 (0，2)，由题意得|CC 1 |＝|CC 2 |，可知圆心 C 的轨迹是线段 C 1 C 2 的垂直平分线，C 1 C 2 的中点为(0，－1)，直线 C 1 C 2的斜率不存在，所以圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y＝－1. (2)因为 m＝n，所以 M(x，y)到直线 y＝－1 的距离与到点 F(0，1)的距离相等，故点 M的轨迹 Q 是以 y＝－1 为准线，点 F(0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而 p2 ＝1，即 p＝2，所以，轨迹 Q 的方程是 x 2 ＝4y. 错误! ! 定义法求轨迹方程 (1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程． (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制．

　1．已知△ABC 的顶点 B(0，0)，C(5，0)，AB 边上的中线长|CD|＝3，则顶点 A 的轨迹方程为__________________． 解析：设 A(x，y)，由题意可知 D x2 ，y2.又因为|CD|＝3，所以 x2 －52＋ y22＝9，即(x－10) 2 ＋y 2 ＝36，由于 A、B、C 三点不共线，所以点 A 不能落在 x 轴上，即 y≠0，所以点 A的轨迹方程为(x－10) 2 ＋y 2 ＝36(y≠0)． 答案：(x－10) 2 ＋y 2 ＝36(y≠0) 2.如图，已知△ABC 的两顶点坐标 A(－1，0)，B(1，0)，圆 E 是△ABC 的内切圆，在边AC，BC，AB 上的切点分别为 P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点 C 的轨迹为曲线 M，求曲线 M 的方程．

　解：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|， 所以曲线 M 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点)． 设曲线 M：

　x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a＞b＞0，y≠0)， 则 a 2 ＝4，b 2 ＝a 2 － |AB|22＝3， 所以曲线 M 的方程为 x24 ＋y 23 ＝1(y≠0)．

　 相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研)

　如图所示，抛物线 E：y 2 ＝2px(p＞0)与圆 O：x 2 ＋y 2 ＝8 相交于 A，B 两点，且点A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x 0 ，y 0 )作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以C，D 为切点作抛物线 E 的切线 l 1 ，l 2 ，l 1 与 l 2 相交于点 M.

　(1)求 p 的值； (2)求动点 M 的轨迹方程． 【解】

　(1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为(2，2)， 代入 y 2 ＝2px，解得 p＝1. (2)由(1)知抛物线 E：y 2 ＝2x. 设 C 错误! !，D 错误! !，y 1 ≠0，y 2 ≠0，切线 l 1 的斜率为 k，则切线 l 1 ：y－y 1 ＝k 错误! !，代入 y 2 ＝2x， 得 ky 2 －2y＋2y 1 －ky 2 1 ＝0，由 Δ＝0，解得 k＝1y 1 ， 所以 l 1 的方程为 y＝1y 1 x＋y 12 ， 同理 l 2 的方程为 y＝1y 2 x＋y 22 . 联立 y＝1y 1 x＋y 12 ，y＝1y 2 x＋y 22 ，解得 x＝ y1 ·y 22，y＝ y1 ＋y 22. 易知 CD 的方程为 x 0 x＋y 0 y＝8， 其中 x 0 ，y 0 满足 x 2 0 ＋y 2 0 ＝8，x 0 ∈[2，2 2 ]， 由  y 2 ＝2x，x 0 x＋y 0 y＝8， 得 x0 y 2 ＋2y 0 y－16＝0， 则 y 1 ＋y 2 ＝－ 2y0x 0，y 1 ·y 2 ＝－ 16x 0 ，代入 x＝ y1 ·y 22，y＝ y1 ＋y 22， 可得 M(x，y)满足 x＝－8x 0 ，y＝－ y 0x 0 ，可得 x 0 ＝－ 8x ，y 0 ＝ 8yx， 代入 x 2 0 ＋y 2 0 ＝8，并化简，得 x28 －y2 ＝1， 考虑到 x 0 ∈[2，2 2]，知 x∈[－4，－2 2]， 所以动点 M 的轨迹方程为 x28 －y2 ＝1，x∈[－4，－2 2]． 错误! !

　 1.如图，已知 P 是椭圆 x24 ＋y2 ＝1 上一点，PM⊥x 轴于 M.若PN→ ＝λNM →.

　(1)求 N 点的轨迹方程； (2)当 N 点的轨迹为圆时，求 λ 的值． 解：(1)设点 P，点 N 的坐标分别为 P(x 1 ，y 1 )，N(x，y)， 则 M 的坐标为(x 1 ，0)，且 x＝x 1 ， 所以PN→ ＝(x－x1 ，y－y 1 )＝(0，y－y 1 )， NM→＝(x 1 －x，－y)＝(0，－y)， 由PN→ ＝λNM →得(0，y－y 1 )＝λ(0，－y)． 所以 y－y 1 ＝－λy，即 y 1 ＝(1＋λ)y. 因为 P(x 1 ，y 1 )在椭圆 x24 ＋y2 ＝1 上， 则 错误! !＋y 错误! !＝1，所以 错误! !＋(1＋λ) 2 y 2 ＝1， 故 x24 ＋(1＋λ)2 y 2 ＝1 为所求的 N 点的轨迹方程． (2)要使点 N 的轨迹为圆，则(1＋λ) 2 ＝ 14 ， 解得 λ＝－ 12 或 λ＝－32 . 故当 λ＝－ 12 或 λ＝－32 时，N 点的轨迹是圆． 2．已知曲线 E：ax 2 ＋by 2 ＝1(a＞0，b＞0)，经过点 M 33，0 的直线 l 与曲线 E 交于点A，B，且MB→＝－2MA→.若点 B 的坐标为(0，2)，求曲线 E 的方程． 解：设 A(x 0 ，y 0 )，因为 B(0，2)，M 33，0 ， 故MB→＝ －33，2 ，MA→＝ x 0 －33，y 0 . 由于MB→＝－2MA→， 所以 －33，2 ＝－2 x 0 －33，y 0 . 所以 x 0 ＝32，y 0 ＝－1，即 A 32，－1 . 因为 A，B 都在曲线 E 上， 所以 a·02 ＋b·2 2 ＝1，a· 322＋b·（－1）

　2 ＝1， 解得  a＝1，b＝ 14 . 所以曲线 E 的方程为 x 2 ＋ y24 ＝1.

　 [基础题组练] 1．方程(x－y) 2 ＋(xy－1) 2 ＝0 表示的曲线是(

　) A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对 解析：选 C.(x－y) 2 ＋(xy－1) 2 ＝0⇔  x－y＝0，xy－1＝0. 故  x＝1，y＝1或  x＝－1，y＝－1. 2．(2020·银川模拟)设 D 为椭圆 y25 ＋x2 ＝1 上任意一点，A(0，－2)，B(0，2)，延长 AD至点 P，使得|PD|＝|BD|，则点 P 的轨迹方程为(

　) A．x 2 ＋(y－2) 2 ＝20 B．x 2 ＋(y＋2) 2 ＝20 C．x 2 ＋(y－2) 2 ＝5 D．x 2 ＋(y＋2) 2 ＝5 解析：选 B.设点 P 坐标为(x，y)．因为 D 为椭圆 y25 ＋x2 ＝1 上任意一点，且 A，B 为椭圆的焦点，所以|DA|＋|DB|＝2 5.又|PD|＝|BD|，所以|PA|＝|PD|＋|DA|＝|DA|＋|DB|＝2 5，所以 x 2 ＋（y＋2）

　2 ＝2 5，所以 x 2 ＋(y＋2) 2 ＝20，所以点 P 的轨迹方程为 x 2 ＋(y＋2) 2 ＝20.故选 B. 3.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射 f 将 xOy 平面上的点 P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系 uO′v 上的点 P′(2xy，x 2 －y 2 )，则当点 P 沿着折线 A-B-C 运动时，在映射 f 的作用下，动点 P′的轨迹是(

　)

　 解析：选 D.当 P 沿 AB 运动时，x＝1，设 P′(x′，y′)，则  x′＝2y，y′＝1－y 2 (0≤y≤1)，故 y′＝1－ x′24(0≤x′≤2，0≤y′≤1)．当 P 沿 BC 运动时，y＝1，则  x′＝2x，y′＝x 2 －1 (0≤x≤1)，所以y′＝ x′24－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知 P′的轨迹如 D 项图象所示，故选 D. 4．(2020·兰州模拟)已知两点 M(－2，0)，N(2，0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→ ＝0，则动点 P(x，y)的轨迹方程为(

　) A．y 2 ＝－8x

　B．y 2 ＝8x C．y 2 ＝－4x

　D．y 2 ＝4x 解析：选 A.设 P(x，y)，M(－2，0)，N(2，0)，|MN→|＝4.则MP→＝(x＋2，y)，NP→ ＝(x－2，y)，由|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→ ＝0，得 4（x＋2）

　2 ＋y 2 ＋4(x－2)＝0，化简整理得 y 2 ＝－8x.故选A. 5．(2020·郑州模拟)动点 M 在圆 x 2 ＋y 2 ＝25 上移动，过点 M 作 x 轴的垂线段 MD，D 为垂足，则线段 MD 中点的轨迹方程是(

　) A. 4x225 ＋y 225 ＝1

　B． x225 ＋4y 225 ＝1 C. 4x225 －y 225 ＝1

　D． x225 －4y 225 ＝1 解析：选 B.如图，设线段 MD 中点为 P(x，y)，M(x 0 ，y 0 )，D(x 0 ，0)，因为 P 是 MD 的中点， 所以  x 0 ＝x，y 0 ＝2y.又 M 在圆 x 2 ＋y 2 ＝25 上，所以 x 2 0 ＋y 2 0 ＝25，即 x 2 ＋4y 2 ＝25， x225 ＋4y 225 ＝1，所以线段 MD 的中点 P 的轨迹方程是 x225 ＋4y 225 ＝1.故选 B.

　6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点 C 满足OC→＝OA→＋t(OB→－OA→)，其中 t∈R，则点 C 的轨迹方程是________． 解析：设 C(x，y)，则OC→＝(x，y)，OA→＋t(OB→－OA→)＝(1＋t，2t)，所以  x＝t＋1，y＝2t，消去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y＝2x－2. 答案：y＝2x－2 7．△ABC 的顶点 A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C的轨迹方程是________． 解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为 G，E，F.

　|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，轨迹方程为 x29 －y 216 ＝1(x>3)． 答案：

　x29 －y 216 ＝1(x>3) 8．设 F 1 ，F 2 为椭圆 x24 ＋y 23 ＝1 的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点 F 1 向∠F 1 AF 2的外角平分线作垂线，垂足为 D，则点 D 的轨迹方程是________．

　解析：由题意，延长 F 1 D，F 2 A 并交于点 B，易证 Rt△ABD≌Rt△AF 1 D，则|F 1 D|＝|BD|，|F 1 A|＝|AB|，又 O 为 F 1 F 2 的中点，连接 OD，则 OD∥F 2 B，从而可知|OD|＝ 12 |F 2 B|＝12 (|AF 1 |＋|AF 2 |)＝2，设点 D 的坐标为(x，y)，则 x 2 ＋y 2 ＝4. 答案：x 2 ＋y 2 ＝4 9．如图所示，已知圆 A：(x＋2) 2 ＋y 2 ＝1 与点 B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．

　(1)△PAB 的周长为 10； (2)圆 P 与圆 A 外切，且过 B 点(P 为动圆圆心)； (3)圆 P 与圆 A 外切，且与直线 x＝1 相切(P 为动圆圆心)． 解：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故 P 点轨迹是椭圆，且 2a＝6，2c＝4，即 a＝3，c＝2，b＝ 5. 因此其轨迹方程为 x29 ＋y 25 ＝1(y≠0)． (2)设圆 P 的半径为 r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r， 因此|PA|－|PB|＝1. 由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支， 且 2a＝1，2c＝4，即 a＝ 12 ，c＝2，b＝152，因此其轨迹方程为 4x 2 －415 y2 ＝1  x≥ 12. (3)依题意，知动点 P 到定点 A 的距离等于到定直线 x＝2 的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4. 因此其轨迹方程为 y 2 ＝－8x. 10．(2020·宝鸡模拟)已知动圆 P 恒过定点 14 ，0 ，且与直线 x＝－14 相切． (1)求动圆 P 圆心的轨迹 M 的方程； (2)在正方形 ABCD 中，AB 边在直线 y＝x＋4 上，另外 C，D 两点在轨迹 M 上，求该正方形的面积． 解：(1)由题意得动圆 P 的圆心到点 14 ，0 的距离与它到直线 x＝－14 的距离相等， 所以圆心 P 的轨迹是以 14 ，0 为焦点，直线 x＝－14 为准线的抛物线，且 p＝12 ，所以动圆 P 圆心的轨迹 M 的方程为 y 2 ＝x. (2)由题意设 CD 边所在直线方程为 y＝x＋t. 联立  y＝x＋t，y 2 ＝x，消去 y，整理得 x 2 ＋(2t－1)x＋t 2 ＝0. 因为直线 CD 和抛物线交于两点， 所以 Δ＝(2t－1) 2 －4t 2 ＝1－4t＞0，解得 t＜ 14 . 设 C(x 1 ，y 1 )，D(x 2 ，y 2 )， 则 x 1 ＋x 2 ＝1－2t，x 1 x 2 ＝t 2 . 所以|CD|＝ 2[（x 1 ＋x 2 ）

　2 －4x 1 x 2 ] ＝ 2[（1－2t）

　2 －4t 2 ]＝ 2（1－4t）. 又直线 AB 与直线 CD 之间的距离为|AD|＝ |t－4|2，|AD|＝|CD|， 所以 2（1－4t）＝ |t－4|2，解得 t＝－2 或 t＝－6， 经检验 t＝－2 和 t＝－6 都满足 Δ＞0. 所以正方形边长|AD|＝3 2或|AD|＝5 2， 所以正方形 ABCD 的面积 S＝18 或 S＝50. [综合题组练] 1．设过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点．若BP→ ＝2PA → ，且OQ →·AB→ ＝1，则点 P 的轨迹方程是(

　) A. 32 x2 ＋3y 2 ＝1(x＞0，y＞0) B. 32 x2 －3y 2 ＝1(x＞0，y＞0) C．3x 2 － 32 y2 ＝1(x＞0，y＞0) D．3x 2 ＋ 32 y2 ＝1(x＞0，y＞0) 解析：选 A.设 A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由BP→ ＝2PA → ，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即 a＝ 32 x＞0，b＝3y＞0.点 Q(－x，y)，故由OQ→·AB→ ＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即 ax＋by＝1.将 a＝ 32 x，b＝3y 代入 ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为32 x2 ＋3y 2 ＝1(x＞0，y＞0)． 2．若曲线 C 上存在点 M，使 M 到平面内两点 A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线 C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(

　) A．x＋y＝5

　B．x 2 ＋y 2 ＝9 C. x225 ＋y 29 ＝1

　D．x 2 ＝16y 解析：选 B.因为 M 到平面内两点 A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为 8，所以 M的轨迹是以 A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为 x216 －y 29 ＝1. A 项，直线 x＋y＝5 过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2 ＋y 2 ＝9 的圆心为(0，0)，半径为 3，与 M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项， x225 ＋y 29 ＝1 的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入 x216 －y 29 ＝1，可得 y－y 29 ＝1，即 y2 －9y＋9＝0，所以 Δ＞0，满足题意，为“好曲线”． 3.如图，斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 60°，B 为斜足，平面 α 上的动点 P 满足∠PAB＝30°，则点 P 的轨迹是(

　)

　A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 解析：选 C.母线与中轴线夹角为 30°，然后用平面 α 去截，使直线 AB 与平面 α 的夹角为 60°，则截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选 C.

　4．(2020·四川成都石室中学模拟)已知两定点 F 1 (－1，0)，F 2 (1，0)和一动点 P，给出下列结论：

　①若|PF 1 |＋|PF 2 |＝2，则点 P 的轨迹是椭圆； ②若|PF 1 |－|PF 2 |＝1，则点 P 的轨迹是双曲线； ③若 |PF 1 ||PF 2 | ＝λ(λ＞0，且 λ≠1)，则点 P 的轨迹是圆； ④若|PF 1 |·|PF 2 |＝a 2 (a≠0)，则点 P 的轨迹关于原点对称； ⑤若直线 PF 1 与 PF 2 的斜率之积为 m(m≠0)，则点 P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)． 其中正确的是________．(填序号) 解析：对于①，由于|PF 1 |＋|PF 2 |＝2＝|F 1 F 2 |，所以点 P 的轨迹是线段 F 1 F 2 ，故①不正确． 对于②，由于|PF 1 |－|PF 2 |＝1，故点 P 的轨迹是以 F 1 ，F 2 为焦点的双曲线的右支，故②不正确． 对于③，设 P(x，y)，由题意得（x＋1）

　2 ＋y 2（x－1）

　2 ＋y 2 ＝λ，整理得(1－λ2 )x 2 ＋(1－λ 2 )y 2 ＋(2＋2λ 2 )x＋1－λ 2 ＝0.因为 λ＞0，且 λ≠1，所以 x 2 ＋y 2 ＋ （2＋2λ2 ）1－λ 2x＋ 1－λ21－λ 2 ＝0，所以点 P 的轨迹是圆，故③正确． 对于④，设 P(x，y)，则|PF 1 |·|PF 2 |＝ （x＋1）

　2 ＋y 2 · （x－1）

　2 ＋y 2 ＝a 2 .又点 P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因为 （－x＋1）

　2 ＋（－y）

　2 · （－x－1）

　2 ＋（－y）

　2＝ （x＋1）

　2 ＋y 2 · （x－1）

　2 ＋y 2 ＝ a 2 ， 所 以 点 P′( － x ， － y) 也 在 曲 线（x＋1）

　2 ＋y 2 · （x－1）

　2 ＋y 2 ＝a 2 上，即点 P 的轨迹关于原点对称，故④正确． 对于⑤，设 P(x，y)，则 k PF 1 ＝yx＋1 ，k PF 2 ＝yx－1 ，由题意得 k PF 1 ·k PF 2 ＝yx＋1 ·yx－1 ＝y 2x 2 －1＝m(m≠0)，整理得 x 2 － y2m ＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确． 综上，正确结论的序号是③④. 答案：③④ 5．(一题多解)(2020·东北三省四市一模)如图，已知椭圆 C：

　x218 ＋y 29 ＝1 的短轴端点分别为 B 1 ，B 2 ，点 M 是椭圆 C 上的动点，且不与 B 1 ，B 2 重合，点 N 满足 NB 1 ⊥MB 1 ，NB 2 ⊥MB 2 .

　(1)求动点 N 的轨迹方程； (2)求四边形 MB 2 NB 1 面积的最大值． 解：(1)法一：设 N(x，y)，M(x 0 ，y 0 )(x 0 ≠0)． 由题知 B 1 (0，－3)，B 2 (0，3)， 所以 k MB 1 ＝ y0 ＋3x 0，k MB 2 ＝ y0 －3x 0. 因为 MB 1 ⊥NB 1 ，MB 2 ⊥NB 2 ， 所以直线 NB 1 ：y＋3＝－x 0y 0 ＋3 x，① 直线 NB 2 ：y－3＝－x 0y 0 －3 x，② ①×②得 y 2 －9＝ 错误! !x 2 . 又因为 错误! !＋ 错误! !＝1， 所以 y 2 －9＝ 错误! !x 2 ＝－2x 2 ， 整理得动点 N 的轨迹方程为 y29 ＋x 292＝1(x≠0)． 法二：设 N(x，y)，M(x 0 ，y 0 )(x 0 ≠0)． 由题知 B 1 (0，－3)，B 2 (0，3)， 所以 k MB 1 ＝ y0 ＋3x 0，k MB 2 ＝ y0 －3x 0. 因为 MB 1 ⊥NB 1 ，MB 2 ⊥NB 2 ， 所以直线 NB 1 ：y＋3＝－x 0y 0 ＋3 x，① 直线 NB 2 ：y－3＝－x 0y 0 －3 x，② 联立①②，解得 错误! ! 又 错误! !＋ 错误! !＝1， 所以 x＝－ x 02 ， 故  x 0 ＝－2x，y 0 ＝－y，代入 错误! !＋ 错误! !＝1，得 错误! !＋ 错误! !＝1. 所以动点 N 的轨迹方程为 y29 ＋x 292＝1(x≠0)． 法三：设直线 MB 1 ：y＝kx－3(k≠0)， 则直线 NB 1 ：y＝－ 1k x－3，① 直线 MB 1 与椭圆 C：

　x218 ＋y 29 ＝1 的交点 M 的坐标为 12k2k 2 ＋1 ，6k 2 －32k 2 ＋1. 则直线 MB 2 的斜率为 k MB 2 ＝6k 2 －32k 2 ＋1 －312k2k 2 ＋1＝－12k . 所以直线 NB 2 ：y＝2kx＋3.② 由①②得点 N 的轨迹方程为 y29 ＋x 292＝1(x≠0)． (2)由(1)方法三得直线 NB 1 ：y＝－ 1k x－3，① 直线 NB 2 ：y＝2kx＋3，② 联立①②解得 x＝－6k2k 2 ＋1 ，即 x N ＝－6k2k 2 ＋1 ，故四边形 MB 2 NB 1的面积 S＝ 12 |B 1 B 2 |(|x M |＋|x N |)＝3× 12|k|2k 2 ＋1 ＋6|k|2k 2 ＋1＝54|k|2k 2 ＋1 ＝542|k|＋1|k|≤ 27 22，当且仅当|k|＝22时，S 取得最大值 27 22. 6．在平面直角坐标系 xOy 中取两个定点 A 1 (－ 6，0)，A 2 ( 6，0)，再取两个动点 N 1 (0，m)，N 2 (0，n)，且 mn＝2. (1)求直线 A 1 N 1 与 A 2 N 2 的交点 M 的轨迹 C 的方程； (2)过 R(3，0)的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，过点 P 作 PN⊥x 轴且与轨迹 C 交于另一点 N，F 为轨迹 C 的右焦点，若RP→ ＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF→ ＝λFQ →. 解：(1)依题意知，直线 A 1 N 1 的方程为 y＝m6 (x＋ 6)，① 直线 A 2 N 2 的方程为 y＝－n6 (x－ 6)，② 设 M(x，y)是直线 A 1 N 1 与 A 2 N 2 的交点，①×②得 y 2 ＝－ mn6(x 2 －6)， 又 mn＝2，整理得 x26 ＋y 22 ＝1.故点 M 的轨迹 C 的方程为x 26 ＋y 22 ＝1. (2)证明：设过点 R 的直线 l：x＝ty＋3，P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )，则 N(x 1 ，－y 1 )， 由 x＝ty＋3，x 26 ＋y 22 ＝1，消去 x，得(t 2 ＋3)y 2 ＋6ty＋3＝0，(*) 所以 y 1 ＋y 2 ＝－6tt 2 ＋3 ，y 1 y 2 ＝3t 2 ＋3 . 由RP→ ＝λRQ →，得(x 1 －3，y 1 )＝λ(x 2 －3，y 2 )，故 x 1 －3＝ λ (x 2 －3)，y 1 ＝λy 2 ， 由(1)得 F(2，0)，要证NF→ ＝λFQ →，即证(2－x 1 ，y 1 )＝ λ (x 2 －2，y 2 )，

　只需证 2－x 1 ＝λ(x 2 －2)，只需证 x1 －3x 2 －3 ＝－x 1 －2x 2 －2 ，即证 2x 1 x 2 －5(x 1 ＋x 2 )＋12＝0，又 x 1 x 2＝(ty 1 ＋3)(ty 2 ＋3)＝t 2 y 1 y 2 ＋3t(y 1 ＋y 2 )＋9，x 1 ＋x 2 ＝ty 1 ＋3＋ty 2 ＋3＝t(y 1 ＋y 2 )＋6，所以 2t 2 y 1 y 2＋6t(y 1 ＋y 2 )＋18－5t(y 1 ＋y 2 )－30＋12＝0，即 2t 2 y 1 y 2 ＋t(y 1 ＋y 2 )＝0， 而 2t 2 y 1 y 2 ＋t(y 1 ＋y 2 )＝2t 2 ·3t 2 ＋3 －t·6tt 2 ＋3 ＝0 成立，得证．

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